Calcule as integrais:
\int \operatorname{sen}^{4}(3 x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular a primitiva (antiderivada) da função \sin^{4}(3x), isto é, encontrar
\int \sin^{4}(3x)\,dx.
  • Informação dada: é uma integral indefinida de uma potência de seno com argumento linear 3x.
Resumo objetivo: encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\sin^{4}(3x). Não há mais dados necessários.

Passo 2

Estratégia e identidades que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Potências pares de seno e cosseno são difíceis de integrar diretamente, então usamos as identidades de redução de potência. A identidade básica é
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2},
onde u é qualquer função de x. Essa fórmula vem da identidade \cos(2u)=1-2\sin^{2}u resolvida para \sin^{2}u.
  • Aqui temos \sin^{4}(3x)=(\sin^{2}(3x))^{2}. Então primeiro aplicamos a identidade para \sin^{2}, e depois reduzimos a \cos^{2} também, usando
\cos^{2}v=\frac{1+\cos(2v)}{2}.
  • Explicando as variáveis: u e v são colocações temporárias; para o nosso caso vamos tomar u=3x. Essas fórmulas transformam potências em combinações lineares de cossenos com argumentos múltiplos, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando as identidades passo a passo:
Começo por escrever \sin^{4}u com u=3x:
\sin^{4}u=(\sin^{2}u)^{2}=\left(\frac{1-\cos(2u)}{2}\right)^{2}.
Agora expandimos:
\left(\frac{1-\cos(2u)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\big(1-2\cos(2u)+\cos^{2}(2u)\big).
Em seguida substituímos \cos^{2}(2u) pela sua forma reduzida:
\cos^{2}(2u)=\frac{1+\cos(4u)}{2}.
Substituindo na expressão e simplificando:
\sin^{4}u=\frac{1}{4}\left(1-2\cos(2u)+\frac{1+\cos(4u)}{2}\right).
Colocando todo mundo sobre denominador comum e simplificando os coeficientes:
\sin^{4}u=\frac{1}{4}\left(\frac{2-4\cos(2u)+1+\cos(4u)}{2}\right) =\frac{1}{8}\big(3-4\cos(2u)+\cos(4u)\big).
Ou seja
\sin^{4}u=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{8}\cos(4u).

Passo 4

Voltar ao nosso caso com u=3x. Substituindo u=3x na fórmula obtida:
\sin^{4}(3x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2\cdot 3x)+\frac{1}{8}\cos(4\cdot 3x).
Simplificando os argumentos:
\sin^{4}(3x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(6x)+\frac{1}{8}\cos(12x).
Agora a integral original fica muito mais simples, pois é soma de termos fáceis:
\int \sin^{4}(3x)\,dx=\int\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(6x)+\frac{1}{8}\cos(12x)\right)dx.

Passo 5

Integramos termo a termo, usando a regra básica:
  • \displaystyle \int a\,dx = a x para constante a.
  • \displaystyle \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C, para constante k (porque a derivada de \sin(kx) é k\cos(kx)).
Aplicando isso:
\int \frac{3}{8}\,dx=\frac{3}{8}x.
\int \left(-\frac{1}{2}\cos(6x)\right)dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)=-\frac{1}{12}\sin(6x).
\int \frac{1}{8}\cos(12x)\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\sin(12x)=\frac{1}{96}\sin(12x).
Somando os termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): derivando a expressão obtida deve voltar a \sin^{4}(3x).
  • Derivada de \frac{3}{8}x é \frac{3}{8}.
  • Derivada de -\frac{1}{12}\sin(6x) é -\frac{1}{12}\cdot 6\cos(6x)=-\frac{1}{2}\cos(6x).
  • Derivada de \frac{1}{96}\sin(12x) é \frac{1}{96}\cdot 12\cos(12x)=\frac{1}{8}\cos(12x).
    Somando: \frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(6x)+\frac{1}{8}\cos(12x), que é exatamente a decomposição da \sin^{4}(3x) que usamos. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}x-\frac{1}{12}\sin(6x)+\frac{1}{96}\sin(12x)+C

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