Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular a primitiva (antiderivada) da função
, isto é, encontrar
- Informação dada: é uma integral indefinida de uma potência de seno com argumento linear
.
Resumo objetivo: encontrar uma expressão
tal que
. Não há mais dados necessários.
Passo 2
Estratégia e identidades que vamos usar (com explicações didáticas):
- Potências pares de seno e cosseno são difíceis de integrar diretamente, então usamos as identidades de redução de potência. A identidade básica é
onde
é qualquer função de
. Essa fórmula vem da identidade
resolvida para
.
- Aqui temos
. Então primeiro aplicamos a identidade para , e depois reduzimos a também, usando
- Explicando as variáveis:
e são colocações temporárias; para o nosso caso vamos tomar . Essas fórmulas transformam potências em combinações lineares de cossenos com argumentos múltiplos, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicando as identidades passo a passo:
Começo por escrever
com
:
Agora expandimos:
Em seguida substituímos
pela sua forma reduzida:
Substituindo na expressão e simplificando:
Colocando todo mundo sobre denominador comum e simplificando os coeficientes:
Ou seja
Passo 4
Voltar ao nosso caso com
. Substituindo
na fórmula obtida:
Simplificando os argumentos:
Agora a integral original fica muito mais simples, pois é soma de termos fáceis:
Passo 5
Integramos termo a termo, usando a regra básica:
-
para constante . -
, para constante (porque a derivada de é ).
Aplicando isso:
Somando os termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): derivando a expressão obtida deve voltar a
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:, que é exatamente a decomposição da que usamos. Portanto a primitiva está correta.