Calcule as integrais:
2)
2)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas (o que temos à mão):
- A função integranda é uma razão de polinômios de mesmo grau (grau
no numerador e no denominador). - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Quando numerador e denominador têm o mesmo grau, uma técnica simples é escrever a fração como a soma de um polinômio mais uma fração cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos subtrair o denominador do numerador para ver essa decomposição:
Logo
e portanto
Isso simplifica a integral em duas partes.
Passo 3
Separe a integral:
A primeira é imediata:
Falta calcular
Passo 4
Para lidar com
é conveniente completar o quadrado no denominador. Observe:
Faça a substituição de translação
Reescrevendo o numerador:
Portanto
Passo 5
Separe
em duas integrais mais simples:
Vamos calcular cada uma:
Passo 6
Primeira integral:
.
Use substituição , então
, isto é
. Assim
Use substituição
Passo 7
Segunda integral:
.
Fatore :
. Use a forma padrão
. Coloque na forma conveniente com
. Detalhes:
Fatore
Com
temos
e
. Então
Lembrando que na expressão de
esse termo aparece multiplicado por
, obtemos
Passo 8
Some as duas partes de
:
Volte à variável original
com
. Note também que
. Assim
Passo 9
Junte com a parte
. A primitiva da integranda original é
Opcionalmente pode-se simplificar
, ficando o termo em arctan como
.