Calcule as integrais:
2) \int \frac{4 x^{2}-3 x+2}{4 x^{2}-4 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{4 x^{2}-3 x+2}{4 x^{2}-4 x+3}\,dx.
Informações dadas (o que temos à mão):
  • A função integranda é uma razão de polinômios de mesmo grau (grau 2 no numerador e no denominador).
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Quando numerador e denominador têm o mesmo grau, uma técnica simples é escrever a fração como a soma de um polinômio mais uma fração cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos subtrair o denominador do numerador para ver essa decomposição:
(4x^{2}-3x+2)-(4x^{2}-4x+3)=x-1.
Logo
4x^{2}-3x+2 = (4x^{2}-4x+3) + (x-1),
e portanto
\frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3} = 1 + \frac{x-1}{4x^{2}-4x+3}.
Isso simplifica a integral em duas partes.

Passo 3

Separe a integral:
\int \frac{4x^{2}-3x+2}{4x^{2}-4x+3}\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{x-1}{4x^{2}-4x+3}\,dx.
A primeira é imediata:
\int 1\,dx = x.
Falta calcular
I=\int \frac{x-1}{4x^{2}-4x+3}\,dx.

Passo 4

Para lidar com I é conveniente completar o quadrado no denominador. Observe:
4x^{2}-4x+3 = 4\bigl(x^{2}-x\bigr)+3 =4\Bigl[(x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr]+3 =4(x-\tfrac{1}{2})^{2}+2.
Faça a substituição de translação
t = x-\tfrac{1}{2},\qquad dt = dx.
Reescrevendo o numerador:
x-1 = (t+\tfrac{1}{2})-1 = t-\tfrac{1}{2}.
Portanto
I = \int \frac{t-\tfrac{1}{2}}{4t^{2}+2}\,dt.

Passo 5

Separe I em duas integrais mais simples:
I = \int \frac{t}{4t^{2}+2}\,dt \;-\; \tfrac{1}{2}\int \frac{1}{4t^{2}+2}\,dt.
Vamos calcular cada uma:

Passo 6

Primeira integral: \displaystyle \int \frac{t}{4t^{2}+2}\,dt.
Use substituição u=4t^{2}+2, então du=8t\,dt, isto é t\,dt=\dfrac{du}{8}. Assim
\int \frac{t}{4t^{2}+2}\,dt = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\ln|u| + C = \frac{1}{8}\ln\bigl(4t^{2}+2\bigr)+C.

Passo 7

Segunda integral: \displaystyle \int \frac{1}{4t^{2}+2}\,dt.
Fatore 2: 4t^{2}+2=2(2t^{2}+1). Use a forma padrão \int \frac{1}{a^{2}+y^{2}}dy = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{a}\bigr). Coloque na forma conveniente com u=\sqrt{2}\,t. Detalhes:
\int \frac{1}{4t^{2}+2}\,dt = \int \frac{1}{2(2t^{2}+1)}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{2t^{2}+1}\,dt.
Com u=\sqrt{2}\,t temos du=\sqrt{2}\,dt e 2t^{2}+1 = u^{2}+1. Então
\frac{1}{2}\int \frac{1}{2t^{2}+1}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan(u) + C = \frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+C.
Lembrando que na expressão de I esse termo aparece multiplicado por -\tfrac{1}{2}, obtemos
-\tfrac{1}{2}\int \frac{1}{4t^{2}+2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) = -\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Passo 8

Some as duas partes de I:
I = \frac{1}{8}\ln\bigl(4t^{2}+2\bigr) - \frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) + C.
Volte à variável original x com t=x-\tfrac{1}{2}. Note também que 4t^{2}+2 = 4x^{2}-4x+3. Assim
I = \frac{1}{8}\ln\bigl(4x^{2}-4x+3\bigr) - \frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\bigr) + C.

Passo 9

Junte com a parte \int 1\,dx = x. A primitiva da integranda original é
x + \frac{1}{8}\ln\bigl(4x^{2}-4x+3\bigr) - \frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\bigr) + C.
Opcionalmente pode-se simplificar \dfrac{1}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}, ficando o termo em arctan como -\dfrac{\sqrt{2}}{8}\arctan\!\bigl(\sqrt{2}(x-\tfrac{1}{2})\bigr).

Resposta

x+\frac{1}{8}\ln\bigl(4x^{2}-4x+3\bigr)-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,(x-\tfrac{1}{2})\bigr)+C

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