Calcule as integrais:
  1. Seja a \neq 0. Calcule \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida, com a\neq 0:
\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a é uma constante diferente de zero.
  • A variável de integração é x.
  • A integral é indefinida (deve aparecer uma constante de integração C).
  • O denominador pode ser fatorado como (x-a)(x+a) porque a\neq 0.

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vou usar, sem ainda executar): como temos uma razão racional cujo denominador se factoriza em fatores lineares distintos (x-a)(x+a), vamos usar decomposição em frações parciais. A ideia da decomposição em frações parciais é escrever
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a},
onde A e B são constantes que determinamos comparando termos. Isso transforma a integral numa soma de integrais elementares do tipo \int \frac{dx}{x-\text{constante}}, cuja primitiva é um logaritmo natural (com valor absoluto). Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Encontrar A e B na decomposição em frações parciais. Partindo de
\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a},
multiplica-se ambos os lados por (x-a)(x+a) para obter uma identidade polinomial válida para todo x:
1 = A(x+a) + B(x-a).
Essa igualdade vale para qualquer x. Uma forma prática de achar A e B é avaliar em valores que anulem um dos fatores:
  • Tomando x=a fica 1 = A(2a), logo
A=\frac{1}{2a}.
  • Tomando x=-a fica 1 = B(-2a), logo
B=-\frac{1}{2a}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x-a}-\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x+a}.

Passo 4

Integrar termo a termo. Usando a decomposição obtida,
\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}} = \int \left(\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x-a}-\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{x+a}\right) dx.
Fatorando \dfrac{1}{2a}:
= \frac{1}{2a}\int \frac{dx}{x-a} - \frac{1}{2a}\int \frac{dx}{x+a}.
Lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{x-c} é \ln|x-c|, temos:
\int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a| + C_1,\qquad \int \frac{dx}{x+a}=\ln|x+a| + C_2.
Substituindo:
\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln|x-a| - \frac{1}{2a}\ln|x+a| + C,
onde C é a constante de integração que reúne C_1 e C_2.

Passo 5

Simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo. A diferença de logaritmos vira o logaritmo do quociente:
\frac{1}{2a}\ln|x-a| - \frac{1}{2a}\ln|x+a| = \frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{x-a}{x+a}\right|.
Portanto uma forma final e muito usada é
\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.

Passo 6

Formas alternativas e comentários de domínio (úteis na prova): a forma com logaritmo vale para todo x tal que x\neq \pm a, por isso aparecem os valores absolutos. Existem também formas em termos de funções hiperbólicas inversas; por exemplo, fazendo a substituição u=\dfrac{x}{a} e usando \operatorname{arctanh}, obtém-se, para |x|<|a|,
\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}} = -\frac{1}{a}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
o que é equivalente à forma com logaritmo (as expressões diferem por constantes de definição dependendo do ramo). Para |x|>|a| pode-se usar -\dfrac{1}{a}\operatorname{arccoth}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C. Em provas, a forma com logaritmo absoluto é a mais direta e segura.

Passo 7

Verificação rápida (derivando a resposta): derivando
F(x)=\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{x-a}{x+a}\right|
temos, por regra da cadeia e propriedades do logaritmo,
F'(x)=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right) =\frac{1}{2a}\cdot\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)} =\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a}{x^{2}-a^{2}} =\frac{1}{x^{2}-a^{2}},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C

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