Seja a \neq 0. Calcule \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida, com a\neq 0:
\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
a é uma constante diferente de zero.
A variável de integração é x.
A integral é indefinida (deve aparecer uma constante de integração C).
O denominador pode ser fatorado como (x-a)(x+a) porque a\neq 0.
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vou usar, sem ainda executar): como temos uma razão racional cujo denominador se factoriza em fatores lineares distintos (x-a)(x+a), vamos usar decomposição em frações parciais. A ideia da decomposição em frações parciais é escrever
onde A e B são constantes que determinamos comparando termos. Isso transforma a integral numa soma de integrais elementares do tipo \int \frac{dx}{x-\text{constante}}, cuja primitiva é um logaritmo natural (com valor absoluto). Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Encontrar A e B na decomposição em frações parciais. Partindo de
\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a},
multiplica-se ambos os lados por (x-a)(x+a) para obter uma identidade polinomial válida para todo x:
1 = A(x+a) + B(x-a).
Essa igualdade vale para qualquer x. Uma forma prática de achar A e B é avaliar em valores que anulem um dos fatores:
Formas alternativas e comentários de domínio (úteis na prova): a forma com logaritmo vale para todo x tal que x\neq \pm a, por isso aparecem os valores absolutos. Existem também formas em termos de funções hiperbólicas inversas; por exemplo, fazendo a substituição u=\dfrac{x}{a} e usando \operatorname{arctanh}, obtém-se, para |x|<|a|,
o que é equivalente à forma com logaritmo (as expressões diferem por constantes de definição dependendo do ramo). Para |x|>|a| pode-se usar -\dfrac{1}{a}\operatorname{arccoth}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C. Em provas, a forma com logaritmo absoluto é a mais direta e segura.
Passo 7
Verificação rápida (derivando a resposta): derivando