Calcule as integrais indefinidas abaixo:
13)
13)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, mais constante de integração.
Passo 2
Ideia principal (fórmula que vamos usar). Quando temos uma potência ímpar de cosseno, é prático separar um fator
e usar a identidade pitagórica para transformar
em função de
. A identidade é
Explicando rapidamente: vem de
, isolando
.
Passo 3
Reescrever o integrando usando essa identidade, tirando um fator
:
Portanto a integral vira
Passo 4
Substituição adequada (u-substitution). Definimos a variável
Então a diferencial é
Observação: isto é perfeito porque temos exatamente um fator
na integral. Assim podemos trocar as variáveis.
Passo 5
Trocar a integral para a variável
. Usando
e
, obtemos
Agora integramos um polinômio simples em
.
Passo 6
Calcular a primitiva em
. Integramos termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltar à variável original
. Substituindo
de volta, a primitiva fica
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtida deve aparecer o integrando.
Derivando temos
Derivando
o que confirma que a primitiva está correta.