Calcule as integrais indefinidas abaixo:
13) \int \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos^{3} x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos^{3}x. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, mais constante de integração.

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vamos usar). Quando temos uma potência ímpar de cosseno, é prático separar um fator \cos x e usar a identidade pitagórica para transformar \cos^{2}x em função de \sin x. A identidade é
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x.
Explicando rapidamente: vem de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, isolando \cos^{2}x.

Passo 3

Reescrever o integrando usando essa identidade, tirando um fator \cos x:
\cos^{3}x = \cos^{2}x\cdot\cos x = (1-\sin^{2}x)\cos x.
Portanto a integral vira
\int \cos^{3}x\,dx = \int (1-\sin^{2}x)\cos x\,dx.

Passo 4

Substituição adequada (u-substitution). Definimos a variável
u=\sin x.
Então a diferencial é
du=\cos x\,dx.
Observação: isto é perfeito porque temos exatamente um fator \cos x\,dx na integral. Assim podemos trocar as variáveis.

Passo 5

Trocar a integral para a variável u. Usando u=\sin x e du=\cos x\,dx, obtemos
\int (1-\sin^{2}x)\cos x\,dx = \int (1-u^{2})\,du.
Agora integramos um polinômio simples em u.

Passo 6

Calcular a primitiva em u. Integramos termo a termo:
\int (1-u^{2})\,du = \int 1\,du - \int u^{2}\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltar à variável original x. Substituindo u=\sin x de volta, a primitiva fica
\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtida deve aparecer o integrando.
Derivando \sin x - \dfrac{\sin^{3}x}{3} temos
\frac{d}{dx}\!\left(\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3}\right)=\cos x - \sin^{2}x\cos x=\cos x(1-\sin^{2}x)=\cos^{3}x,
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\sin x - \dfrac{\sin^{3}x}{3} + C

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