Calcule as integrais:
8) \int \frac{x}{x^{4}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
  • A função integranda é \dfrac{x}{x^{4}-1}, definida para valores de x tais que x^{4}\neq1.
  • Não há condições adicionais; espera-se apresentar a primitiva mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma estratégia: vamos usar uma substituição para simplificar o polinômio no denominador. A ideia da substituição (método de mudança de variável) é escolher uma nova variável \,u\, que torne a integral mais simples, e substituir também dx por expressão em du.
Uma escolha natural aqui é tomar
u = x^{2}.
Vou explicar por que: a diferencial de u é obtida derivando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Note que o numerador da integral original é exatamente x\,dx, então essa substituição vai simplificar bastante.

Passo 3

Fazer a substituição completa na integral usando \,u=x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{2}du.
Substituindo:
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx = \int \frac{x\,dx}{(x^{2})^{2}-1} = \int \frac{x\,dx}{u^{2}-1}.
Agora trocar x\,dx por \dfrac{1}{2}du:
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral
\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du.
Isto é uma integral de uma função racional. Uma técnica padrão é decompor em frações parciais, pois u^{2}-1 fatoriza em (u-1)(u+1). Vamos escrever
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Determinar A\) e \(B\). Somando as frações parciais obtemos \[\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}=\frac{A(u+1)+B(u-1)}{(u-1)(u+1)}=\frac{(A+B)u+(A-B)}{u^{2}-1}.
Comparando com \dfrac{1}{u^{2}-1}, os coeficientes no numerador devem satisfazer:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] A-B = 1. \end{cases}
Resolvendo esse sistema: somando as duas equações dá 2A=1\] então \(A=\dfrac{1}{2}. Como A+B=0, segue B=-\dfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u+1}.]

Passo 6

Substituir a decomposição na integral em u:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du = \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u+1}\right)\,du.
Fatorando constantes:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du = \frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)\,du.

Passo 7

Integrar termo a termo usando que \displaystyle\int \frac{1}{u-a}\,du=\ln|u-a|+C. Assim,
\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)\,du = \frac{1}{4}\biggl(\ln|u-1|-\ln|u+1|\biggr)+C.
Juntando os logaritmos:
\frac{1}{4}\biggl(\ln|u-1|-\ln|u+1|\biggr) = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C.

Passo 8

Voltar à variável original usando u=x^{2}. Substituindo:
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right|+C,
onde C é a constante de integração.
Posso verificar rapidamente: derivando \dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right| obtém-se \dfrac{x}{x^{4}-1}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right|+C

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