Calcule as integrais:
8) \int \frac{x}{x^{4}-1} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{x^{4}-1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva).
A função integranda é \dfrac{x}{x^{4}-1}, definida para valores de x tais que x^{4}\neq1.
Não há condições adicionais; espera-se apresentar a primitiva mais uma constante de integração C.
Passo 2
Escolher uma estratégia: vamos usar uma substituição para simplificar o polinômio no denominador. A ideia da substituição (método de mudança de variável) é escolher uma nova variável \,u\, que torne a integral mais simples, e substituir também dx por expressão em du.
Uma escolha natural aqui é tomar
u = x^{2}.
Vou explicar por que: a diferencial de u é obtida derivando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Note que o numerador da integral original é exatamente x\,dx, então essa substituição vai simplificar bastante.
Passo 3
Fazer a substituição completa na integral usando \,u=x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{2}du.
Determinar A\) e \(B\). Somando as frações parciais obtemos
\[\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}=\frac{A(u+1)+B(u-1)}{(u-1)(u+1)}=\frac{(A+B)u+(A-B)}{u^{2}-1}.
Comparando com \dfrac{1}{u^{2}-1}, os coeficientes no numerador devem satisfazer:
Posso verificar rapidamente: derivando \dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right| obtém-se \dfrac{x}{x^{4}-1}, confirmando que a primitiva está correta.