Calcule as integrais
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração iterada e uso de mudança de variável (substituição) para resolver a integral interna em y.

Passo 2

Vamos definir, para cada x\in[0,1], a integral interna
J(x)=\int_{0}^{1}\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy.
Como x é tratado como constante, podemos fatorar x e usar a substituição
u=x^{2}+y^{2},\quad du=2y\,dy\quad\Longrightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{2}.
Quando y=0, u=x^{2}. Quando y=1, u=x^{2}+1. Logo,
J(x) = x\int_{u=x^{2}}^{x^{2}+1}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{x}{2}\bigl[2\,u^{1/2}\bigr]_{x^{2}}^{x^{2}+1} = x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).

Passo 3

Substituindo J(x) na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}J(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^{2}\,dx.

Passo 4

Calculamos separadamente:
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx, fazemos a substituição
t=x^{2}+1,\quad dt=2x\,dx,\quad x\,dx=\frac{dt}{2},
e os limites vão de t(0)=1 a t(1)=2. Assim,
\int_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx =\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,t^{3/2}\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx, usamos a fórmula direta:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo esses resultados em
\int_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)-\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-2\bigr) =\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1).

Resposta

\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1).

Exercícios relacionados