Calcule as integrais
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-9 x^{2} y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\bigl(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo usado é o de integrais duplas e a técnica de Fubini, que nos diz que podemos integrar primeiro em y (a integral interna) e depois em x (a integral externa).

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy =4x^{3}\int_{1}^{2}dy \;-\;9x^{2}\int_{1}^{2}y^{2}\,dy.
Agora,
\int_{1}^{2}dy = \bigl[y\bigr]_{1}^{2}=2-1=1, \qquad \int_{1}^{2}y^{2}\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}.
Portanto
\int_{1}^{2}\bigl(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy =4x^{3}\cdot1 \;-\;9x^{2}\cdot\tfrac{7}{3} =4x^{3}-21x^{2}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{0}^{1}\bigl(4x^{3}-21x^{2}\bigr)\,dx =4\int_{0}^{1}x^{3}\,dx \;-\;21\int_{0}^{1}x^{2}\,dx.
Calculando cada uma:
\int_{0}^{1}x^{3}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Logo
4\cdot\tfrac{1}{4} \;-\;21\cdot\tfrac{1}{3} =1 - 7 = -6.

Resposta

-6

Exercícios relacionados