\iiint_{D} x y d V, onde D é limitado pelos cilindros parabólicos y=x^{2} e x=y^{2} e pelos planos z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tridimensional
\iiint_{D} x\,y \,dV
em que D é o sólido limitado pelos cilindros parabólicos y=x^{2} e x=y^{2} e pelos planos z=0 e z=1. O conteúdo é integração iterada em coordenadas cartesianas, projetando D no plano xy e depois integrando em z.

Passo 2

Vamos projetar D no plano xy. A projeção R é a região entre as curvas
y = x^{2} \quad\text{e}\quad x = y^{2}.
Para achar suas interseções, substituímos x=y^{2} em y=x^{2}, obtendo
y = (y^{2})^{2} = y^{4} \quad\Longrightarrow\quad y(y^{3}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0\;\text{ou}\;y=1.
Logo y varia de 0 a 1. Em cada y fixo, x vai de x=y^{2} (menor) até x=\sqrt{y} (maior), pois para 0\le y\le1 vale y^{2}\le\sqrt{y}.

Passo 3

Escolhemos a ordem dV = dz\,dx\,dy. Como z fica entre 0 e 1, montamos
\iiint_{D} x\,y \,dV = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}}\!\int_{z=0}^{1} x\,y \,dz\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em z, notando que o integrando x\,y não depende de z:
\int_{z=0}^{1} x\,y \,dz = x\,y \cdot \bigl[z\bigr]_{0}^{1} = x\,y.
Ficamos com
\int_{0}^{1}\!\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} x\,y \,dx\,dy.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}} x\,y \,dx = y \,\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} x \,dx = y \,\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{y^{2}}^{\sqrt{y}} = y\cdot\frac{(\sqrt{y})^{2} - (y^{2})^{2}}{2} = y\cdot\frac{y - y^{4}}{2} = \frac{y^{2} - y^{5}}{2}.

Passo 6

Por fim, integramos em y:
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}-y^{5}}{2}\,dy = \frac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{1} y^{2}\,dy - \int_{0}^{1} y^{5}\,dy\Bigr] = \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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