Calcule as integrais:
7)
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
- A função a ser integrada é uma função racional (um quociente de polinômios).
- O numerador é
e o denominador é . - Não há outras condições (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador para ver sua estrutura. Fatore
:
Portanto a integranda fica
Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de fatores lineares (com
repetido), é natural usar decomposição em frações parciais. A ideia: escrever a fração como soma de termos simples cuja integral é conhecida.
Passo 3
Para um fator repetido
e um fator distinto
, a forma geral da decomposição é
onde
,
e
são constantes reais a determinar. Aqui:
-
corresponde ao termo para a potência do fator repetido, -
corresponde à potência , -
é para o fator linear diferente.
Passo 4
Multiplique a identidade acima por
para eliminar denominadores. Obtemos a igualdade polinomial
Vamos expandir o lado direito e agrupar potências de
. Primeiro, calcular cada termo:
Somando:
Logo a identidade polinomial é
Passo 5
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (termos em
Resolva as equações na ordem mais simples:
- Da terceira equação :
- Da primeira equação
obtemos
Verificação rápida: com
,
,
os coeficientes batem com
.]
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição temos
Agora integramos termo a termo. Lembrete das integrais básicas que vamos usar:
- Para
, . Em particular, para , . -
. -
(regra da substituição simples).
Integramos cada termo:
Passo 7
Somando os termos e acrescentando a constante de integração
, a primitiva é
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos: