Calcule as integrais:
7) \int \frac{x+1}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x+1}{x^{3}+2x^{2}}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • A função a ser integrada é uma função racional (um quociente de polinômios).
  • O numerador é x+1 e o denominador é x^{3}+2x^{2}.
  • Não há outras condições (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador para ver sua estrutura. Fatore x^{3}+2x^{2}:
x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2).
Portanto a integranda fica
\frac{x+1}{x^{3}+2x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}(x+2)}.
Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de fatores lineares (com x repetido), é natural usar decomposição em frações parciais. A ideia: escrever a fração como soma de termos simples cuja integral é conhecida.

Passo 3

Para um fator repetido x^{2} e um fator distinto (x+2), a forma geral da decomposição é
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes reais a determinar. Aqui:
  • \dfrac{A}{x} corresponde ao termo para a potência x^{1} do fator repetido,
  • \dfrac{B}{x^{2}} corresponde à potência x^{2},
  • \dfrac{C}{x+2} é para o fator linear diferente.

Passo 4

Multiplique a identidade acima por x^{2}(x+2) para eliminar denominadores. Obtemos a igualdade polinomial
x+1 = A x(x+2) + B(x+2) + C x^{2}.
Vamos expandir o lado direito e agrupar potências de x. Primeiro, calcular cada termo:
A x(x+2)=A x^{2}+2A x,
B(x+2)=B x+2B,
C x^{2}=C x^{2}.
Somando:
A x^{2}+2A x + B x + 2B + C x^{2} = (A+C)x^{2} + (2A+B)x + 2B.
Logo a identidade polinomial é
x+1 = (A+C)x^{2} + (2A+B)x + 2B.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes dos polinômios (termos em x^{2}\), \(x\) e constantes). À esquerda os coeficientes são: \(0\) para \(x^{2}\), \(1\) para \(x\) e \(1\) para a constante. Assim: \[\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 2A + B = 1,\\[4pt] 2B = 1. \end{cases}
Resolva as equações na ordem mais simples:
  • Da terceira equação 2B=1\] segue \[B=\tfrac{1}{2}.\] - Substituindo em \(2A+B=1:
2A+\tfrac{1}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 2A=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
  • Da primeira equação A+C=0 obtemos
C=-A=-\tfrac{1}{4}.
Verificação rápida: com A=\tfrac{1}{4}, B=\tfrac{1}{2}, C=-\tfrac{1}{4} os coeficientes batem com 0,1,1.]

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição temos
\frac{x+1}{x^{2}(x+2)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
Agora integramos termo a termo. Lembrete das integrais básicas que vamos usar:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Em particular, para n=-2, \displaystyle \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x+2|+C (regra da substituição simples).
Integramos cada termo:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{4}\ln|x|,
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int x^{-2}\,dx=\frac{1}{2}\left(-x^{-1}\right)=-\frac{1}{2x},
\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}\,dx=-\frac{1}{4}\ln|x+2|.

Passo 7

Somando os termos e acrescentando a constante de integração C, a primitiva é
\frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}\ln|x+2|+C.
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos:
\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x}{x+2}\right|-\frac{1}{2x}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}\ln|x+2|+C

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