Calcule as integrais:
\int \frac{y^{3}}{\left(1-2 y^{4}\right)^{5}} d y

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
\frac{y^{3}}{\bigl(1-2y^{4}\bigr)^{5}},
ou seja, calcular
\int \frac{y^{3}}{\bigl(1-2y^{4}\bigr)^{5}}\,dy.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - 2y^{4}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = -8\,y^{3}\,dy \quad\Longrightarrow\quad y^{3}\,dy = -\tfrac{1}{8}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{y^{3}}{\bigl(1-2y^{4}\bigr)^{5}}\,dy = \int \frac{-\tfrac{1}{8}\,du}{u^{5}} = -\tfrac{1}{8}\,\int u^{-5}\,du.
Agora basta integrar u^{-5}.

Passo 4

A integral de u^{-5} é
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4} + C.
Portanto,
-\tfrac{1}{8}\,\int u^{-5}\,du = -\tfrac{1}{8}\,\frac{u^{-4}}{-4} + C = \tfrac{1}{32}\,u^{-4} + C.
Voltando a variável y, temos
u^{-4} = \bigl(1 - 2y^{4}\bigr)^{-4}.

Resposta

\int \frac{y^{3}}{\bigl(1-2y^{4}\bigr)^{5}}\,dy = \frac{1}{32}\,\bigl(1 - 2y^{4}\bigr)^{-4} + C.

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