Resolver o problema de valor inicial y^{\prime}+y=e^{-t}, y(0)=1 :
sem usar a Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = e^{-t}
com a condição inicial y(0)=1. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que consiste em encontrar \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt} para reescrever a EDO como derivada de um produto.

Passo 2

Identificamos p(t)=1 e g(t)=e^{-t}. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^t.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da EDO por \mu(t)=e^t, obtendo
e^t y' + e^t y = e^t e^{-t}=1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^t y, isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(e^t y\bigr)=1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t y = \int 1\,dt = t + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
y(t)=e^{-t}(t + C).

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1:
y(0)=e^0(0 + C)=C=1.
Logo a solução buscada é
y(t)=e^{-t}(t + 1).

Resposta

y(t)=e^{-t}(t+1).

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