Calcule as integrais:
.
Passo 1
Vou começar deixando claro o que o enunciado pede e quais integrais temos que calcular. O integrando é um vetor com três componentes, então temos três integrais definidas distintas, todas no intervalo
:
O objetivo é encontrar o valor numérico de cada uma.
Passo 2
Ferramentas básicas que vou usar (explicadas passo a passo):
- A primitiva (antiderivada) de
é , porque . Usando essa ideia, a primitiva de é . - A primitiva de
é , porque . - Para funções do tipo
vale . Em particular, se então , o que sugere usar substituição quando aparecer .
Essas são as peças que vamos aplicar em cada integral.
Passo 3
Cálculo da primeira integral
.
A primitiva de
é
. Então, por teorema fundamental do cálculo,
Como
e
, obtemos o valor
E
, logo a integral vale
.
Passo 4
Cálculo da segunda integral
.
Usamos que a primitiva de
é
. Portanto,
Sabe-se que
e
. Assim
Passo 5
Cálculo da terceira integral
.
Aqui é natural fazer a substituição
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
. A integral transforma-se em
A primitiva de
é
, logo
Como
, concluímos que