Calcule as integrais:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t+1}, \frac{1}{t^{2}+1}, \frac{t}{t^{2}+1}\right) d t.

Passo 1

Vou começar deixando claro o que o enunciado pede e quais integrais temos que calcular. O integrando é um vetor com três componentes, então temos três integrais definidas distintas, todas no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\frac{1}{t+1}\,dt,\qquad \int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt,\qquad \int_{0}^{1}\frac{t}{t^{2}+1}\,dt.
O objetivo é encontrar o valor numérico de cada uma.

Passo 2

Ferramentas básicas que vou usar (explicadas passo a passo):
  • A primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x} é \ln|x|, porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}. Usando essa ideia, a primitiva de \dfrac{1}{x+a} é \ln|x+a|.
  • A primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, porque \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Para funções do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} vale \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|. Em particular, se f(x)=x^{2}+1 então f'(x)=2x, o que sugere usar substituição quando aparecer x/(x^{2}+1).
Essas são as peças que vamos aplicar em cada integral.

Passo 3

Cálculo da primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{t+1}\,dt.
A primitiva de \dfrac{1}{t+1} é \ln|t+1|. Então, por teorema fundamental do cálculo,
\int_{0}^{1}\frac{1}{t+1}\,dt=\left.\ln|t+1|\right|_{0}^{1}=\ln|1+1|-\ln|0+1|.
Como |1+1|=2 e |0+1|=1, obtemos o valor
\int_{0}^{1}\frac{1}{t+1}\,dt=\ln 2 - \ln 1.
E \ln 1=0, logo a integral vale \ln 2.

Passo 4

Cálculo da segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
Usamos que a primitiva de \dfrac{1}{t^{2}+1} é \arctan t. Portanto,
\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\left.\arctan t\right|_{0}^{1}=\arctan 1 - \arctan 0.
Sabe-se que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0. Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Cálculo da terceira integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t}{t^{2}+1}\,dt.
Aqui é natural fazer a substituição u=t^{2}+1. Então
u=t^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{1}{2}\,du.
Quando t=0 temos u=0^{2}+1=1. Quando t=1 temos u=1^{2}+1=2. A integral transforma-se em
\int_{0}^{1}\frac{t}{t^{2}+1}\,dt=\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, logo
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\left.\ln|u|\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1).
Como \ln 1=0, concluímos que
\int_{0}^{1}\frac{t}{t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \ln 2
\displaystyle \frac{\pi}{4}
\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2

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