- Encontre as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados. O ponto dado é
.
Informações relevantes que temos de usar:
- A reta tangente em um ponto
tem ponto conhecido e direção dada pelo vetor derivada . - Logo, precisamos:
- descobrir qual(es) valor(es) de
dão ; - calcular
e avaliar em cada encontrado; - escrever a reta como
e extrair as equações paramétricas.
- descobrir qual(es) valor(es) de
Passo 2
Encontrar o(s)
tal que
.
Da terceira componente temos
Resolver
dá
, ou seja
. Não há outro
real com
, então o único parâmetro que produz o ponto é
.
Verificação rápida (opcional): avaliar as primeiras duas componentes em
:
portanto
, consistente com o ponto dado.
Passo 3
Calcular a derivada
. Vou explicar como derivar cada componente usando regra do produto e regra da cadeia.
Regra do produto: se
então
.
Para a componente
:
-
tem derivada (regra da cadeia para com ); -
tem derivada .
Aplicando produto:
Para a componente
:
-
com ; -
com .
Aplicando produto:
Para a componente
:
Assim
Passo 4
Avaliar
no ponto
para obter o vetor direção da reta tangente.
Substituindo
e lembrando que
,
,
, obtemos
Portanto o vetor direção da reta tangente em
é
.
Passo 5
Escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma padrão é
onde
é o parâmetro da reta.
Substituindo
e
obtemos a reta
Das componentes extraímos as equações paramétricas:
Observação prática: pode-se usar qualquer letra para o parâmetro da reta; aqui usei
para não confundir com o parâmetro
da curva.