• Encontre as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados.
    \beta(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t}\right) ;(1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\beta(t)=\bigl(e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\operatorname{sen} t,\; e^{-t}\bigr)
e pede as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados. O ponto dado é (1,0,1).
Informações relevantes que temos de usar:
  • A reta tangente em um ponto \beta(t_0) tem ponto conhecido \beta(t_0) e direção dada pelo vetor derivada \beta'(t_0).
  • Logo, precisamos:
    1. descobrir qual(es) valor(es) de t dão \beta(t)=(1,0,1);
    2. calcular \beta'(t) e avaliar em cada t_0 encontrado;
    3. escrever a reta como \ell(s)=\beta(t_0)+s\,\beta'(t_0) e extrair as equações paramétricas.

Passo 2

Encontrar o(s) t tal que \beta(t)=(1,0,1).
Da terceira componente temos
e^{-t}=1.
Resolver e^{-t}=1 -t=0, ou seja t=0. Não há outro t real com e^{-t}=1, então o único parâmetro que produz o ponto é t_0=0.
Verificação rápida (opcional): avaliar as primeiras duas componentes em t=0:
e^{0}\cos 0 = 1\cdot 1 = 1,\qquad e^{0}\operatorname{sen} 0 = 1\cdot 0 = 0,
portanto \beta(0)=(1,0,1), consistente com o ponto dado.

Passo 3

Calcular a derivada \beta'(t). Vou explicar como derivar cada componente usando regra do produto e regra da cadeia.
Regra do produto: se u(t)=f(t)g(t) então u'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
Para a componente x(t)=e^{-t}\cos t:
  • f(t)=e^{-t} tem derivada f'(t)=-e^{-t} (regra da cadeia para e^{u} com u=-t);
  • g(t)=\cos t tem derivada g'(t)=-\operatorname{sen} t.
    Aplicando produto:
x'(t)=(-e^{-t})\cos t + e^{-t}(-\operatorname{sen} t) = -e^{-t}\cos t - e^{-t}\operatorname{sen} t = -e^{-t}\bigl(\cos t+\operatorname{sen} t\bigr).
Para a componente y(t)=e^{-t}\operatorname{sen} t:
  • f(t)=e^{-t} com f'(t)=-e^{-t};
  • g(t)=\operatorname{sen} t com g'(t)=\cos t.
    Aplicando produto:
y'(t)=(-e^{-t})\operatorname{sen} t + e^{-t}\cos t = e^{-t}\bigl(\cos t - \operatorname{sen} t\bigr).
Para a componente z(t)=e^{-t}:
z'(t)=-e^{-t}.
Assim
\beta'(t)=\bigl(-e^{-t}(\cos t+\operatorname{sen} t),\; e^{-t}(\cos t-\operatorname{sen} t),\; -e^{-t}\bigr).

Passo 4

Avaliar \beta'(t) no ponto t_0=0 para obter o vetor direção da reta tangente.
Substituindo t=0 e lembrando que e^{0}=1, \cos 0=1, \operatorname{sen} 0=0, obtemos
\beta'(0)=\bigl(-1(1+0),\; 1(1-0),\; -1\bigr)=(-1,\;1,\;-1).
Portanto o vetor direção da reta tangente em \beta(0)=(1,0,1) é (-1,1,-1).

Passo 5

Escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma padrão é
\ell(s)=\beta(0)+s\,\beta'(0),
onde s é o parâmetro da reta.
Substituindo \beta(0)=(1,0,1) e \beta'(0)=(-1,1,-1) obtemos a reta
\ell(s)=\bigl(1,0,1\bigr)+s\bigl(-1,1,-1\bigr).
Das componentes extraímos as equações paramétricas:
x(s)=1-s,\qquad y(s)=0+s=s,\qquad z(s)=1-s.
Observação prática: pode-se usar qualquer letra para o parâmetro da reta; aqui usei s para não confundir com o parâmetro t da curva.

Resposta

x=1-s
y=s
z=1-s

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