Calcule as integrais:
\int\left(\operatorname{sec} ^{2} t, t\left(t^{2}+1\right)^{3}, t^{2} \ln t\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as três antiderivadas (integrais indefinidas) abaixo:
  • \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2} t\, dt.
  • \displaystyle \int t\left(t^{2}+1\right)^{3}\, dt.
  • \displaystyle \int t^{2}\ln t\, dt.
Informações relevantes dadas:
  • Cada expressão é uma função de t e a integração é em relação a t.
  • Para a terceira integral aparece \ln t, então presume-se t>0 para que \ln t esteja bem definida (pelo menos no contexto real).
  • Em todas as integrais devo acrescentar uma constante de integração +C.

Passo 2

Resolver \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2} t\, dt.
A ideia: reconhecer uma função cuja derivada é \operatorname{sec}^{2}t. Lembrete rápido da derivada de \tan t:
\text{Derivando }\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}\text{ pelo quociente,}
obtém-se
\frac{d}{dt}\tan t=\frac{\cos^{2}t+\sin^{2}t}{\cos^{2}t}=\frac{1}{\cos^{2}t}=\operatorname{sec}^{2}t.
Como a derivada de \tan t é \operatorname{sec}^{2}t, a antiderivada de \operatorname{sec}^{2}t é \tan t. Portanto
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2} t\, dt=\tan t + C.
Explicação prática para a prova: ao ver \operatorname{sec}^{2}t, lembrar imediatamente de \tan t, pois é uma identidade básica de derivadas.

Passo 3

Resolver \displaystyle \int t\left(t^{2}+1\right)^{3}\, dt.
Método: substituição. Este tipo de integral costuma pedir identificar uma parte (t^{2}+1) cuja derivada aparece multiplicando: a derivada de t^{2}+1 é 2t, e vemos um fator t fora da potência, então a substituição funciona bem.
Escolho a substituição
u=t^{2}+1.
Diferenciando,
du=2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int t\left(t^{2}+1\right)^{3}\,dt = \int u^{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int u^{3}\,du.
Agora integrar potência de u:
\frac{1}{2}\int u^{3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{u^{4}}{8} + C.
Voltando para t:
\frac{(t^{2}+1)^{4}}{8} + C.
Dica prática: identifique u como a parte dentro da potência e verifique se du aparece (até constante) multiplicando; se sim, a substituição simplifica muito.

Passo 4

Resolver \displaystyle \int t^{2}\ln t\, dt.
Método: integração por partes. Vou explicar a fórmula e aplicá-la passo a passo.
Fórmula (veniente da regra do produto): se escolhermos funções u(t) e v(t) com derivadas adequadas, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Essa fórmula vem de integrar a igualdade \frac{d}{dt}(u v)=u'\,v+u\,v' e rearranjar os termos.
Escolha das partes: é útil escolher u como uma função que simplifica ao derivar (por exemplo \ln t) e dv como algo fácil de integrar (por exemplo um polinômio). Então escolho
u=\ln t,\qquad dv=t^{2}\,dt.
Calcular du e v:
du=\frac{1}{t}\,dt,\qquad v=\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Aplicando integração por partes:
\int t^{2}\ln t\,dt = u v - \int v\,du = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \int \frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}\,dt.
Simplificar o integrando restante:
\int \frac{t^{3}}{3}\cdot\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{3}\int t^{2}\,dt = \frac{1}{3}\cdot\frac{t^{3}}{3} = \frac{t^{3}}{9}.
Portanto
\int t^{2}\ln t\,dt = \frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{t^{3}}{9} + C.
Observação sobre domínio: essa expressão foi obtida assumindo t>0 (para \ln t); em contexto real essa restrição é natural.

Passo 5

Resumo e observações finais rápidas para a prova:
  • Sempre que ver \operatorname{sec}^{2}t lembre de \tan t.
  • Para potência de uma expressão com a derivada da expressão aparecendo multiplicando (como t(t^{2}+1)^{3}), tente u-substituição.
  • Para produto de logaritmo por polinômio, integração por partes com u=\ln t costuma ser a melhor escolha.
  • Não esquecer de incluir a constante de integração +C.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2} t\,dt=\tan t + C
\displaystyle \int t\left(t^{2}+1\right)^{3}\,dt=\frac{(t^{2}+1)^{4}}{8} + C
\displaystyle \int t^{2}\ln t\,dt=\frac{t^{3}}{3}\ln t - \frac{t^{3}}{9} + C

Exercícios relacionados