Calcule as integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as três antiderivadas (integrais indefinidas) abaixo:
-
. -
. -
.
Informações relevantes dadas:
- Cada expressão é uma função de
e a integração é em relação a . - Para a terceira integral aparece
, então presume-se para que esteja bem definida (pelo menos no contexto real). - Em todas as integrais devo acrescentar uma constante de integração
.
Passo 2
Resolver
.
A ideia: reconhecer uma função cuja derivada é
. Lembrete rápido da derivada de
:
obtém-se
Como a derivada de
é
, a antiderivada de
é
. Portanto
Explicação prática para a prova: ao ver
, lembrar imediatamente de
, pois é uma identidade básica de derivadas.
Passo 3
Resolver
.
Método: substituição. Este tipo de integral costuma pedir identificar uma parte
cuja derivada aparece multiplicando: a derivada de
é
, e vemos um fator
fora da potência, então a substituição funciona bem.
Escolho a substituição
Diferenciando,
Substituindo na integral:
Agora integrar potência de
:
Voltando para
:
Dica prática: identifique
como a parte dentro da potência e verifique se
aparece (até constante) multiplicando; se sim, a substituição simplifica muito.
Passo 4
Resolver
.
Método: integração por partes. Vou explicar a fórmula e aplicá-la passo a passo.
Fórmula (veniente da regra do produto): se escolhermos funções
e
com derivadas adequadas, então
Essa fórmula vem de integrar a igualdade
e rearranjar os termos.
Escolha das partes: é útil escolher
como uma função que simplifica ao derivar (por exemplo
) e
como algo fácil de integrar (por exemplo um polinômio). Então escolho
Calcular
e
:
Aplicando integração por partes:
Simplificar o integrando restante:
Portanto
Observação sobre domínio: essa expressão foi obtida assumindo
(para
); em contexto real essa restrição é natural.
Passo 5
Resumo e observações finais rápidas para a prova:
- Sempre que ver
lembre de . - Para potência de uma expressão com a derivada da expressão aparecendo multiplicando (como
), tente -substituição. - Para produto de logaritmo por polinômio, integração por partes com
costuma ser a melhor escolha. - Não esquecer de incluir a constante de integração
.