Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é obter o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que a integral de soma é soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Aplicando isso à nossa integral, podemos separar os termos:
Passo 3
Segundo conceito essencial: Regra do poder para primitivas (antiderivadas). Para
,
onde
é constante de integração. Isso vale porque, ao derivar
volta-se a
. Também usamos que
para constante
. Outra ferramenta: Teorema Fundamental do Cálculo — se
é uma primitiva de
, então
Vamos aplicar essas ideias termo a termo.
Passo 4
Achar uma primitiva
de
usando a regra do poder e a linearidade:
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
e
e subtrair.
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Passo 6
Subtrai-se
:
Passo 7
Verificação alternativa (estratégia rápida para prova): usar paridade (simetria). Uma função
é ímpar se
e par se
. Em intervalos simétricos
:
- Integral de função ímpar é
. - Integral de função par é
.
No integrando,
é ímpar,
é ímpar, e
é par (constante). Logo as partes ímpares somam integral zero sobre
e sobra apenas a constante:
confirmando o resultado.
Resposta
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