Calcule as integrais
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}-2 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}-2 x+3\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x^{3}-2x+3.
  • Os limites de integração são x=-2 e x=2.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que a integral de soma é soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \int_{a}^{b}g(x)\,dx
\int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx = c\int_{a}^{b}f(x)\,dx,
onde c é constante. Aplicando isso à nossa integral, podemos separar os termos:
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}-2 x+3\right)\,dx = \int_{-2}^{2}x^{3}\,dx - 2\int_{-2}^{2}x\,dx + \int_{-2}^{2}3\,dx.

Passo 3

Segundo conceito essencial: Regra do poder para primitivas (antiderivadas). Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Isso vale porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} volta-se a x^n. Também usamos que
\int c\,dx = c x + C
para constante c. Outra ferramenta: Teorema Fundamental do Cálculo — se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Vamos aplicar essas ideias termo a termo.

Passo 4

Achar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-2x+3 usando a regra do poder e a linearidade:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\qquad \int (-2x)\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2},\qquad \int 3\,dx = 3x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}+3x.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(2) e F(-2) e subtrair.
Calculemos F(2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}+3\cdot 2=\frac{16}{4}-4+6=4-4+6=6.
Calculemos F(-2):
F(-2)=\frac{(-2)^{4}}{4}-(-2)^{2}+3\cdot(-2)=\frac{16}{4}-4-6=4-4-6=-6.

Passo 6

Subtrai-se F(2)-F(-2):
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}-2 x+3\right)\,dx = F(2)-F(-2)=6-(-6)=12.

Passo 7

Verificação alternativa (estratégia rápida para prova): usar paridade (simetria). Uma função g é ímpar se g(-x)=-g(x) e par se g(-x)=g(x). Em intervalos simétricos [-a,a]:
  • Integral de função ímpar é 0.
  • Integral de função par é 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
No integrando, x^{3} é ímpar, -2x é ímpar, e 3 é par (constante). Logo as partes ímpares somam integral zero sobre [-2,2] e sobra apenas a constante:
\int_{-2}^{2}3\,dx = 3\cdot(2-(-2)) = 3\cdot 4 = 12,
confirmando o resultado.

Resposta

12

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