(a) Dadas
com
e
mostre que
.
(b) Considere
. Determine
usando:
i. Frações Parciais
ii. Convolução
(b) Considere
i. Frações Parciais
ii. Convolução
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- São dadas duas funções
e tais que e . - Parte (a): mostrar que
, onde é a convolução de e . - Parte (b): é dada
. Determinar de duas maneiras:
i. usando frações parciais;
ii. usando convolução.
Essas são as perguntas que vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, com calma, das definições que vamos usar (explico cada símbolo).
- A transformada de Laplace de uma função
(definida para ) é
Aqui
é uma variável complexa (mas você pode pensar em
real e grande o suficiente para a integral convergir). Esse integral é a definição; quando ela existe dizemos que a transformada existe.
- A convolução de
e , para , é definida por
Intuitivamente, a convolução “mistura” as duas funções ao longo de todos os deslocamentos
.
Vou usar essas definições para provar (a) e, depois, para o item (b.ii). Quando eu trocar a ordem de integração, assumo as hipóteses usuais (por exemplo,
e
de ordem exponencial ou integráveis adequadas) que garantem a validade do teorema de Fubini/Tonelli.
Passo 3
Começo a prova pedida em (a) aplicando a definição da transformada de Laplace à função convoluída
:
Esse é o ponto onde temos uma integral dupla sobre a região
.
Passo 4
Agora trocamos a ordem de integração. A região de integração é o triângulo
. Se trocarmos a ordem,
varia de
a
e, para cada
fixo,
varia de
até
. Assim:
Aplicando isso ao integral anterior obtemos
Note que dentro do integrando
pode sair da integral em
pois não depende de
.
Passo 5
Extraio
da integral em
e faço a mudança de variável conveniente no integral interno: ponha
. Quando
temos
; quando
temos
; também
. Além disso
. Assim
Observe que a integral em
não depende de
, então é uma constante em relação à integração em
.
Passo 6
Finalmente, identificamos as duas integrais como as transformadas de Laplace de
e
:
Portanto
Isso conclui a demonstração de (a): a transformada de Laplace da convolução é o produto das transformadas.
Passo 7
Agora a parte (b). Primeiro a via i) frações parciais.
Temos
Queremos escrever [F(s)) na forma
. Então
Comparando numeradores,
Isto deve valer para todo
, então os coeficientes iguais nos dão o sistema
Da segunda equação
.
Logo
Sabendo que
(a função constante
para
) e
, pela linearidade da transformada obtemos
Passo 8
Agora a via ii) usando convolução (é bom para fixar a parte (a)).
Note que
Temos
e
. Pela parte (a) a inversa transformada do produto é a convolução das inversas:
Calcule essa integral:
Portanto o resultado coincide com o obtido por frações parciais.]
Passo 9
Resumo final: a transformada da convolução é o produto das transformadas (parte a) e, para o caso específico dado em (b), a função no tempo é
tanto por frações parciais quanto por convolução. Segue a resposta final concisa.
Resposta
(a)
\n(b.i)
\n(b.ii)