Calcule:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{4s}{4s^{2}+1}\right).
Informações dadas: a expressão no espaço de Laplace é \dfrac{4s}{4s^{2}+1}. A pergunta é: qual função f(t) (geralmente para t\ge 0) tem essa imagem de Laplace?

Passo 2

Lembra da fórmula padrão que vamos usar: a transformada de Laplace da função \cos(at) é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
para s>0. Explicando essa fórmula (mini-aula): por definição
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt.
Um modo elementar de avaliar essa integral é usar integração por partes duas vezes; ao fazer isso (detalhes omitidos aqui para não alongar demais) chega-se à expressão \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Nesta fórmula, s é a variável complexa da transformada e a é a frequência da função no tempo.

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão dada para encaixá‑la na forma padrão \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Observe:
\frac{4s}{4s^{2}+1}=\frac{4s}{4\bigl(s^{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Logo a expressão é exatamente da forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} com a^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Determine a a partir de a^{2}=\tfrac{1}{4}. Assim
a=\frac{1}{2}.
Portanto a função no tempo correspondente é \cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}t\bigr), porque
\mathcal{L}\{\cos(\tfrac{t}{2})\}(s)=\frac{s}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{4s}{4s^{2}+1}.

Passo 5

Checagem rápida (confirmação): multiplicando numerador e denominador por 4 obtemos de volta a forma original,
\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{4s}{4s^{2}+1},
logo a correspondência está perfeita.

Resposta

\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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