Se
é uma curva suave com
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma curva suave
, vale
Este resultado se baseia em parametrizar o integral de linha e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Parametrizando o integral, escrevemos
pois
e em cada ponto
.
Passo 3
Observamos que a norma ao quadrado de
tem derivada
Passo 4
Da igualdade acima segue
Substituindo isto no integral parametrizado, obtemos
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao integral de uma derivada, concluímos