Se \gamma(t) é uma curva suave com t \in[a, b], mostre que
\int_{\gamma} \vec{r} \cdot d \vec{r}=1 / 2\left[\|\gamma(b)\|^{2}-\|\gamma(a)\|^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma curva suave \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n, vale
\int_{\gamma}\vec r\cdot d\vec r \;=\;\tfrac12\bigl[\|\gamma(b)\|^2-\|\gamma(a)\|^2\bigr].
Este resultado se baseia em parametrizar o integral de linha e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Parametrizando o integral, escrevemos
\int_{\gamma}\vec r\cdot d\vec r =\int_{a}^{b}\gamma(t)\cdot\gamma'(t)\,dt,
pois d\vec r=\gamma'(t)\,dt e em cada ponto \vec r=\gamma(t).

Passo 3

Observamos que a norma ao quadrado de \gamma(t) tem derivada
\frac{d}{dt}\|\gamma(t)\|^2 =\frac{d}{dt}\bigl(\gamma(t)\cdot\gamma(t)\bigr) =2\,\gamma(t)\cdot\gamma'(t).

Passo 4

Da igualdade acima segue
\gamma(t)\cdot\gamma'(t) =\tfrac12\frac{d}{dt}\|\gamma(t)\|^2.
Substituindo isto no integral parametrizado, obtemos
\int_{a}^{b}\gamma(t)\cdot\gamma'(t)\,dt =\tfrac12\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\|\gamma(t)\|^2\,dt.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao integral de uma derivada, concluímos
\tfrac12\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\|\gamma(t)\|^2\,dt =\tfrac12\bigl[\|\gamma(b)\|^2-\|\gamma(a)\|^2\bigr].

Resposta

\int_{\gamma}\vec r\cdot d\vec r =\tfrac12\bigl[\|\gamma(b)\|^2-\|\gamma(a)\|^2\bigr].

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