Calcule as integrais \int \tan ^{4} x \operatorname{sec} ^{3} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1 para reduzir tudo a potências de \operatorname{sec} x, aproveitando em seguida a fórmula de redução para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{n}x\,dx.
Passo 2
Começamos trocando \tan^{4}x por (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2}:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Logo
I_{3} = \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Passo 5
Agora I_{5} = \int \operatorname{sec}^{5}x\,dx. Usamos a fórmula de redução
\int \operatorname{sec}^{n}x\,dx = \frac{1}{n-1}\,\operatorname{sec}^{n-2}x\tan x + \frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}x\,dx.
Para n=5 dá
I_{5} = \int \operatorname{sec}^{5}x\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{3}{4}\,\underbrace{\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx}_{I_{3}}.
Passo 6
E para I_{7} = \int \operatorname{sec}^{7}x\,dx aplicamos a mesma fórmula com n=7:
I_{7} = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x + \frac{5}{6}\,\underbrace{\int \operatorname{sec}^{5}x\,dx}_{I_{5}}.
Passo 7
Agora substituímos I_{3} e I_{5} em I_{7} e em seguida em \;I = I_{7} - 2\,I_{5} + I_{3}.
Fazendo as contas e coletando constantes de integração, obtemos
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x - \frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Resposta
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x - \frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.