Calcule as integrais
\int \tan ^{4} x \operatorname{sec} ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1 para reduzir tudo a potências de \operatorname{sec} x, aproveitando em seguida a fórmula de redução para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{n}x\,dx.

Passo 2

Começamos trocando \tan^{4}x por (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2}:
\tan^{4}x = (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2}
Logo
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \int (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2}\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \int \bigl(\operatorname{sec}^{7}x - 2\operatorname{sec}^{5}x + \operatorname{sec}^{3}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Definimos
I_{3} = \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx,\quad I_{5} = \int \operatorname{sec}^{5}x\,dx,\quad I_{7} = \int \operatorname{sec}^{7}x\,dx
para reescrever a integral original como
I = I_{7} \;-\; 2\,I_{5} \;+\; I_{3}.

Passo 4

Vamos primeiro obter I_{3} por partes. Escrevemos
I_{3} = \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \int \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Tomamos u = \operatorname{sec} x e dv = \operatorname{sec}^{2}x\,dx, então du = \operatorname{sec} x\tan x\,dx e v = \tan x. Assim:
I_{3} = \operatorname{sec} x\tan x \;-\; \int \tan x\cdot\operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x \;-\;\int \operatorname{sec} x\,\tan^{2}x\,dx.
Como \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x -1, vem
I_{3} = \operatorname{sec} x\tan x \;-\;\int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x -1)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Repare que \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = I_{3} reaparece, então
I_{3} = \operatorname{sec} x\tan x - I_{3} + \int \operatorname{sec} x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 2\,I_{3} = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
E sabemos
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Logo
I_{3} = \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

Passo 5

Agora I_{5} = \int \operatorname{sec}^{5}x\,dx. Usamos a fórmula de redução
\int \operatorname{sec}^{n}x\,dx = \frac{1}{n-1}\,\operatorname{sec}^{n-2}x\tan x + \frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}x\,dx.
Para n=5
I_{5} = \int \operatorname{sec}^{5}x\,dx = \frac{1}{4}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{3}{4}\,\underbrace{\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx}_{I_{3}}.

Passo 6

E para I_{7} = \int \operatorname{sec}^{7}x\,dx aplicamos a mesma fórmula com n=7:
I_{7} = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x + \frac{5}{6}\,\underbrace{\int \operatorname{sec}^{5}x\,dx}_{I_{5}}.

Passo 7

Agora substituímos I_{3} e I_{5} em I_{7} e em seguida em \;I = I_{7} - 2\,I_{5} + I_{3}.
Fazendo as contas e coletando constantes de integração, obtemos
\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x - \frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

Resposta

\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx = \frac{1}{6}\,\operatorname{sec}^{5}x\tan x - \frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^{3}x\tan x + \frac{1}{2}\,\operatorname{sec} x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

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