Calcule as integrais
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{4} \varphi \operatorname{sec} ^{4} \varphi d \varphi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{4}\varphi\,\operatorname{sec}^{4}\varphi\,d\varphi.
O conteúdo da matéria é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a substituição \displaystyle u=\tan\varphi, pois isso transforma \operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi em du.

Passo 2

Fazendo u=\tan\varphi temos
du=\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi
e os limites mudam de \varphi=0 para u=0 e de \varphi=\pi/4 para u=1. Além disso, \operatorname{sec}^{4}\varphi=\operatorname{sec}^{2}\varphi\cdot\operatorname{sec}^{2}\varphi=(1+\tan^{2}\varphi)\operatorname{sec}^{2}\varphi=(1+u^{2})\,\operatorname{sec}^{2}\varphi.
Logo o integrando fica
\tan^{4}\varphi\,\operatorname{sec}^{4}\varphi\,d\varphi =\;u^{4}(1+u^{2})\,\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi =\;u^{4}(1+u^{2})\,du.

Passo 3

A integral em u é
\int_{0}^{1}u^{4}(1+u^{2})\,du =\int_{0}^{1}\bigl(u^{4}+u^{6}\bigr)\,du =\left[\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}\right]_{0}^{1}.

Passo 4

Avaliando de 0 a 1 obtemos
\frac{1^{5}}{5}+\frac{1^{7}}{7} =\frac{1}{5}+\frac{1}{7} =\frac{7+5}{35} =\frac{12}{35}.

Resposta

\frac{12}{35}

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