Calcule as integrais:
\int \frac{1}{x^{5} \sqrt{3 x^{2}-1}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada)
\int \frac{1}{x^{5}\sqrt{3x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é imprópria onde \sqrt{3x^{2}-1} não é real; portanto a expressão faz sentido para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • O integrando contém \sqrt{3x^{2}-1}, que costuma sugerir uma substituição trigonométrica do tipo \,x=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta (porque então 3x^{2}-1=\tan^{2}\theta).
  • Vamos transformar a integral por uma substituição apropriada, integrar em \theta e depois voltar para x.
    Não começarei a resolver nada ainda; apenas listei o que se pede e os dados relevantes.

Passo 2

Escolhemos a substituição trigonométrica
x=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta.
Explico o porquê e computo as quantidades necessárias:
  • Com essa escolha,
3x^{2}-1 = 3\left(\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\right)-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta,
logo \sqrt{3x^{2}-1}=\tan\theta (tomando \tan\theta\ge0 se estivermos no ramo positivo; o raciocínio vale em cada ramo do domínio).
  • Derivando x em relação a \theta,
dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Também precisamos de x^{5}:
x^{5}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta\right)^{5}=3^{-5/2}\operatorname{sec}^{5}\theta.

Passo 3

Substituo tudo na integral. A integral original é
\int \frac{1}{x^{5}\sqrt{3x^{2}-1}}\,dx.
Substituindo x^{5}, \sqrt{3x^{2}-1} e dx:
\int \frac{1}{3^{-5/2}\operatorname{sec}^{5}\theta\cdot \tan\theta}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\right)\,d\theta.
Agora simplifico: os fatores \tan\theta cancelam, e obtemos
\int \frac{3^{-1/2}\operatorname{sec}\theta}{3^{-5/2}\operatorname{sec}^{5}\theta}\,d\theta = \int 3^{5/2-1/2}\operatorname{sec}^{-4}\theta\,d\theta = \int 3^{2}\cos^{4}\theta\,d\theta.
Portanto a integral se reduz a
9\int \cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos integrar \cos^{4}\theta. Vou ensinar a técnica padrão (redução de potência):
  • A fórmula de redução básica é \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Isso vem da identidade de duplicação do cosseno.
  • Elevando ao quadrado,
\cos^{4}\theta=(\cos^{2}\theta)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
  • Substituo novamente \cos^{2}2\theta=\dfrac{1+\cos 4\theta}{2} e simplifico:
\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}\bigl(3+4\cos 2\theta+\cos 4\theta\bigr).
Essa é a forma que facilita a integração, porque agora temos soma de cossenos com argumentos múltiplos.

Passo 5

Integro \cos^{4}\theta usando a fórmula encontrada:
\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\int \bigl(3+4\cos 2\theta+\cos 4\theta\bigr)\,d\theta.
Calculo termo a termo:
  • \int 3\,d\theta = 3\theta.
  • \int 4\cos 2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}=2\sin 2\theta.
  • \int \cos 4\theta\,d\theta = \frac{\sin 4\theta}{4}.
    Juntando e multiplicando por \tfrac{1}{8},
\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3\theta}{8}+\frac{\sin 2\theta}{4}+\frac{\sin 4\theta}{32}+C.
Multiplicando por 9 (lembrando que a integral original virou 9\int\cos^{4}\theta\,d\theta), obtemos
9\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{27\theta}{8}+\frac{9\sin 2\theta}{4}+\frac{9\sin 4\theta}{32}+C.

Passo 6

Agora precisamos voltar para x. Recordando a substituição:
x=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sec}\theta\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\theta=\sqrt{3}\,x,
e também vimos que \sqrt{3x^{2}-1}=\tan\theta. A partir disso obtemos \sin\theta e \cos\theta:
\cos\theta=\frac{1}{\operatorname{sec}\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}\,x},\qquad \sin\theta=\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}=\frac{\sqrt{3x^{2}-1}}{\sqrt{3}\,x}.
Vou calcular \sin 2\theta e \sin 4\theta em função de x:
  • \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\frac{\sqrt{3x^{2}-1}}{\sqrt{3}\,x}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}\,x} =\frac{2\sqrt{3x^{2}-1}}{3x^{2}}.
  • Para \sin 4\theta uso \sin 4\theta=2\sin 2\theta\cos 2\theta. Primeiro calculo \cos 2\theta usando \tan^{2}\theta=3x^{2}-1:
\cos 2\theta=\frac{1-\tan^{2}\theta}{1+\tan^{2}\theta} =\frac{1-(3x^{2}-1)}{1+(3x^{2}-1)} =\frac{2-3x^{2}}{3x^{2}}.
Então
\sin 4\theta = 2\cdot\frac{2\sqrt{3x^{2}-1}}{3x^{2}}\cdot\frac{2-3x^{2}}{3x^{2}} =\frac{4\sqrt{3x^{2}-1}\,(2-3x^{2})}{9x^{4}}.

Passo 7

Substituo \sin 2\theta e \sin 4\theta na expressão obtida em \theta:
I(x)=\frac{27\theta}{8}+\frac{9}{4}\cdot\frac{2\sqrt{3x^{2}-1}}{3x^{2}} +\frac{9}{32}\cdot\frac{4\sqrt{3x^{2}-1}\,(2-3x^{2})}{9x^{4}}+C.
Agora simplifico cada termo:
  • O segundo termo: \dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}, logo é \dfrac{3}{2}\dfrac{\sqrt{3x^{2}-1}}{x^{2}}.
  • O terceiro termo: \dfrac{9}{32}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}, logo é \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{(2-3x^{2})\sqrt{3x^{2}-1}}{x^{4}}.
    Somando os dois termos que envolvem \sqrt{3x^{2}-1} posso colocar em denominação comum 8x^{4}:
\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3x^{2}-1}}{x^{2}} = \frac{12x^{2}\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}, \qquad \frac{1}{8}\cdot\frac{(2-3x^{2})\sqrt{3x^{2}-1}}{x^{4}} =\frac{(2-3x^{2})\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}.
Somando:
\frac{12x^{2}+(2-3x^{2})}{8x^{4}}\sqrt{3x^{2}-1} =\frac{(9x^{2}+2)\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}.
Portanto a primitiva fica
I(x)=\frac{27\theta}{8}+\frac{(9x^{2}+2)\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}+C.

Passo 8

Por fim, volto de \theta para x. Lembre que \tan\theta=\sqrt{3x^{2}-1}, então podemos tomar
\theta=\arctan\bigl(\sqrt{3x^{2}-1}\,\bigr).
Substituindo em I(x) obtemos a antiderivada expressa em termos de x:
I(x)=\frac{27}{8}\arctan\!\bigl(\sqrt{3x^{2}-1}\,\bigr) +\frac{(9x^{2}+2)\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}+C.
(Dentro do domínio adequado |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} essa expressão é válida; outra forma equivalente é escrever \theta=\operatorname{arcsec}(\sqrt{3}x).)

Resposta

\frac{27}{8}\arctan\!\bigl(\sqrt{3x^{2}-1}\,\bigr) +\frac{(9x^{2}+2)\sqrt{3x^{2}-1}}{8x^{4}}+C

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