Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada)
Informações dadas e observações iniciais:
- A integral é imprópria onde
não é real; portanto a expressão faz sentido para . - O integrando contém
, que costuma sugerir uma substituição trigonométrica do tipo (porque então ). - Vamos transformar a integral por uma substituição apropriada, integrar em
e depois voltar para .
Não começarei a resolver nada ainda; apenas listei o que se pede e os dados relevantes.
Passo 2
Escolhemos a substituição trigonométrica
Explico o porquê e computo as quantidades necessárias:
- Com essa escolha,
logo
(tomando
se estivermos no ramo positivo; o raciocínio vale em cada ramo do domínio).
- Derivando
em relação a ,
- Também precisamos de
:
Passo 3
Substituo tudo na integral. A integral original é
Substituindo
,
e
:
Agora simplifico: os fatores
cancelam, e obtemos
Portanto a integral se reduz a
Passo 4
Agora precisamos integrar
. Vou ensinar a técnica padrão (redução de potência):
- A fórmula de redução básica é
. Isso vem da identidade de duplicação do cosseno. - Elevando ao quadrado,
- Substituo novamente
e simplifico:
Essa é a forma que facilita a integração, porque agora temos soma de cossenos com argumentos múltiplos.
Passo 5
Integro
usando a fórmula encontrada:
Calculo termo a termo:
-
. -
. -
.
Juntando e multiplicando por,
Multiplicando por
(lembrando que a integral original virou
), obtemos
Passo 6
Agora precisamos voltar para
. Recordando a substituição:
e também vimos que
. A partir disso obtemos
e
:
Vou calcular
e
em função de
:
-
- Para
uso . Primeiro calculo usando :
Então
Passo 7
Substituo
e
na expressão obtida em
:
Agora simplifico cada termo:
- O segundo termo:
, logo é . - O terceiro termo:
, logo é .
Somando os dois termos que envolvemposso colocar em denominação comum :
Somando:
Portanto a primitiva fica
Passo 8
Por fim, volto de
para
. Lembre que
, então podemos tomar
Substituindo em
obtemos a antiderivada expressa em termos de
:
(Dentro do domínio adequado
essa expressão é válida; outra forma equivalente é escrever
.)