Esboce uma família de curvas de nível de:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
isto é, para cada valor real
, desenhar o conjunto de pontos
tais que
O conteúdo aqui é manipular uma equação implícita e reconhecer a forma das curvas resultantes.
Passo 2
Começamos escrevendo a equação de nível
em forma implícita. Multiplicando em cruz, obtemos
Passo 3
Reescrevendo como equação quadrática em
, temos
Trata-se de uma equação do tipo
com
Passo 4
O discriminante dessa quadrática é
Para ter soluções reais em
, precisamos de
, ou seja
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara, para
obtemos as duas soluções
Logo, cada curva de nível
(com
) é dada por duas parábolas do tipo
Para
só resta a parábola
, e para
só resta
.
Além disso, para a condição
implica em
ou
, ou seja, as retas dos eixos.
Além disso, para
Passo 6
Para esboçar no plano
:
- Se
, temos duas parábolas simétricas em relação ao eixo , ambas abertas para a direita (coeficientes ). - Se
, é a mesma figura refletida no eixo , ou seja, parábolas abrindo para a esquerda . - Para
, cada nível reduz-se a uma única parábola . - Para
, surge o “cruz” formado por e .
Resposta
As curvas de nível de
são parábolas de equação
com duas folhas para
, uma folha para
, e para
as retas
e
.