Esboce uma família de curvas de nível de:
f(x, y)=\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}\'

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y)=\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{4}},
isto é, para cada valor real k, desenhar o conjunto de pontos (x,y) tais que
\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=k.
O conteúdo aqui é manipular uma equação implícita e reconhecer a forma das curvas resultantes.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação de nível f(x,y)=k em forma implícita. Multiplicando em cruz, obtemos
2xy^{2}=k\bigl(x^{2}+y^{4}\bigr).

Passo 3

Reescrevendo como equação quadrática em x, temos
k\,x^{2}-2y^{2}\,x + k\,y^{4}=0.
Trata-se de uma equação do tipo a x^{2}+b x+c=0 com
a=k,\quad b=-2y^{2},\quad c=k\,y^{4}.

Passo 4

O discriminante dessa quadrática é
\Delta = b^{2}-4ac = ( -2y^{2})^{2}-4\cdot k\cdot (k\,y^{4}) =4y^{4}-4k^{2}y^{4} =4y^{4}(1-k^{2}).
Para ter soluções reais em x, precisamos de \Delta\ge0, ou seja \lvert k\rvert\le1.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara, para k\neq0 obtemos as duas soluções
x = \frac{2y^{2}\pm 2y^{2}\sqrt{1-k^{2}}}{2k} =\frac{y^{2}}{k}\bigl(1\pm\sqrt{1-k^{2}}\bigr).
Logo, cada curva de nível k (com 0<\lvert k\rvert<1) é dada por duas parábolas do tipo
x = C_{\pm}(k)\;y^{2}, \quad C_{\pm}(k)=\frac{1\pm\sqrt{1-k^{2}}}{k}.
Para k=1 só resta a parábola x=y^{2}, e para k=-1 só resta x=-y^{2}.
Além disso, para k=0 a condição 2xy^{2}=0 implica em x=0 ou y=0, ou seja, as retas dos eixos.

Passo 6

Para esboçar no plano xy:
  • Se 0<k<1, temos duas parábolas simétricas em relação ao eixo y, ambas abertas para a direita (coeficientes C_{\pm}(k)>0).
  • Se -1<k<0, é a mesma figura refletida no eixo y, ou seja, parábolas abrindo para a esquerda C_{\pm}(k)<0.
  • Para k=\pm1, cada nível reduz-se a uma única parábola x=\pm y^{2}.
  • Para k=0, surge o “cruz” formado por x=0 e y=0.

Resposta

As curvas de nível de f são parábolas de equação
x = \frac{1\pm\sqrt{1-k^{2}}}{k}\;y^{2}, \quad \lvert k\rvert\le1,
com duas folhas para \lvert k\rvert<1, uma folha para k=\pm1, e para k=0 as retas x=0 e y=0.

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