Desenhe o conjunto
dado e calcule a área.
é o conjunto de todos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Desenhar o conjunto
definido por e . - Calcular a área desse conjunto
.
Informações dadas (explicitadas):
- A variável
varia em . - Para cada
nessa faixa, fica entre as duas curvas e .
Passo 2
Identificar as curvas que limitam a região e as possíveis interseções:
- As bordas horizontais/verticais são
e (esses são os limites de fornecidos). - As bordas superiores/inferiores são as funções
e .
Para entender a região precisamos saber onde as duas curvas se encontram; isso vem da equação
Vou resolver essa equação para achar as abscissas dos pontos de interseção.
Passo 3
Resolver
:
Essa é uma equação quadrática que fatoriza:
Portanto as raízes são
e
. Isso significa que as curvas se encontram exatamente nas abscissas que já estavam dadas como limites de
. Confirmando os pontos de interseção, calculo as ordenadas:
- Em
: e → ponto . - Em
: e → ponto .
Passo 4
Determinar qual curva é a superior (top) e qual é a inferior (bottom) no intervalo
:
- Considere a diferença
Se
em um ponto, a reta
está acima da parábola
nesse ponto.
Avalio, por exemplo, em :
Avalio, por exemplo, em
logo em
a reta está acima da parábola. Como as curvas só se encontram em
e
e
é contínua, conclui-se que para todo
vale
. Portanto, ao longo de
a curva superior é
e a inferior é
.
Explicação conceitual rápida (como usar isso numa prova): a área entre duas curvas
e
do intervalo
a
é dada por
Aqui
e
, com
e
.
Passo 5
Montar a integral que dá a área:
Agora vou integrar termo a termo. As primitivas conhecidas são:
-
, -
, -
.
Logo uma primitiva da função integranda é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos extremos e calcular a área:
Calculo
:
Calculo
:
Agora a diferença:
Passo 7
Instruções rápidas para desenhar
(passo a passo para rabiscar na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a parábola
: passa por , por , por , vértice em . - Desenhe a reta
: intercepta o eixo em , tem inclinação ; passa pelos pontos e . - Marque os pontos de interseção
e . - Sombreie a região entre a reta (em cima) e a parábola (embaixo) para
de a . Essa região é o conjunto .
Força aí — você já montou o desenho e calculou integrando top minus bottom de
a
!