Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto de todos (x, y) tais que -1 \leq x \leq 2 e x^{2} \leq y \leq x+2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Desenhar o conjunto A definido por -1 \le x \le 2 e x^{2} \le y \le x+2.
  • Calcular a área desse conjunto A.
Informações dadas (explicitadas):
  • A variável x varia em [-1,2].
  • Para cada x nessa faixa, y fica entre as duas curvas y=x^{2} e y=x+2.

Passo 2

Identificar as curvas que limitam a região e as possíveis interseções:
  • As bordas horizontais/verticais são x=-1 e x=2 (esses são os limites de x fornecidos).
  • As bordas superiores/inferiores são as funções y=x+2 e y=x^{2}.
    Para entender a região precisamos saber onde as duas curvas se encontram; isso vem da equação
x^{2}=x+2.
Vou resolver essa equação para achar as abscissas dos pontos de interseção.

Passo 3

Resolver x^{2}=x+2:
x^{2}-x-2=0.
Essa é uma equação quadrática que fatoriza:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0.
Portanto as raízes são x=2 e x=-1. Isso significa que as curvas se encontram exatamente nas abscissas que já estavam dadas como limites de x. Confirmando os pontos de interseção, calculo as ordenadas:
  • Em x=-1: y=(-1)^{2}=1 e y=-1+2=1 → ponto (-1,1).
  • Em x=2: y=2^{2}=4 e y=2+2=4 → ponto (2,4).

Passo 4

Determinar qual curva é a superior (top) e qual é a inferior (bottom) no intervalo [-1,2]:
  • Considere a diferença
g(x)=(x+2)-x^{2}.
Se g(x)>0 em um ponto, a reta y=x+2 está acima da parábola y=x^{2} nesse ponto.
Avalio, por exemplo, em x=0:
g(0)=0+2-0=2>0,
logo em x=0 a reta está acima da parábola. Como as curvas só se encontram em -1 e 2 e g é contínua, conclui-se que para todo x\in(-1,2) vale g(x)>0. Portanto, ao longo de [-1,2] a curva superior é y=x+2 e a inferior é y=x^{2}.
Explicação conceitual rápida (como usar isso numa prova): a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) do intervalo a a b é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui \text{top}(x)=x+2 e \text{bottom}(x)=x^{2}, com a=-1 e b=2.

Passo 5

Montar a integral que dá a área:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Agora vou integrar termo a termo. As primitivas conhecidas são:
  • \displaystyle \int x\,dx=\tfrac{1}{2}x^{2},
  • \displaystyle \int 2\,dx=2x,
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}x^{3}.
Logo uma primitiva da função integranda é
F(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}+2x-\tfrac{1}{3}x^{3}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos extremos e calcular a área:
\text{Área}=F(2)-F(-1).Á
Calculo F(2):
F(2)=\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\cdot 2-\tfrac{1}{3}\cdot 2^{3} =\tfrac{1}{2}\cdot 4 +4 -\tfrac{8}{3} =2+4-\tfrac{8}{3} =6-\tfrac{8}{3}=\tfrac{18-8}{3}=\tfrac{10}{3}.
Calculo F(-1):
F(-1)=\tfrac{1}{2}\cdot(-1)^{2}+2\cdot(-1)-\tfrac{1}{3}\cdot(-1)^{3} =\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3} =\tfrac{3}{6}-\tfrac{12}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{-7}{6}.
Agora a diferença:
\text{Área}=F(2)-F(-1)=\tfrac{10}{3}-\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr) =\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{20}{6}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{27}{6}=\tfrac{9}{2}.Á

Passo 7

Instruções rápidas para desenhar A (passo a passo para rabiscar na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a parábola y=x^{2}: passa por (0,0), por (1,1), por (-1,1), vértice em (0,0).
  3. Desenhe a reta y=x+2: intercepta o eixo y em (0,2), tem inclinação 1; passa pelos pontos (-1,1) e (2,4).
  4. Marque os pontos de interseção (-1,1) e (2,4).
  5. Sombreie a região entre a reta (em cima) e a parábola (embaixo) para x de -1 a 2. Essa região é o conjunto A.
Força aí — você já montou o desenho e calculou integrando top minus bottom de -1 a 2!

Resposta

\dfrac{9}{2}

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