Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma antiderivada
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método. Há várias formas de integrar essa função: técnica de frações parciais (com substituições) ou substituição trigonométrica
. Vou usar
porque transforma
em
de maneira direta e deixa a integral bem simples (fica com potências de cosseno). Esse método é mais curto e fácil de acompanhar numa prova.
Passo 3
Faço a substituição trigonométrica:
Note que
Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular
. Usamos a identidade de ângulo duplo:
Logo
Integrando:
Observação útil:
, então
.
Passo 5
Volto para a variável
. Temos
. Com
,
então
Substituindo na primitiva obtida em
:
Podemos escrever de forma limpa:
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a expressão encontrada para checar que volta a
.
Calcule
.
Escrevendo como e derivando:
Escrevendo como
Derivando a outra parte,
Somando as duas derivadas:
Confere OK.