Calcule as integrais:
\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Quer-se uma antiderivada F(x) tal que F'(x)=f(x), mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Há várias formas de integrar essa função: técnica de frações parciais (com substituições) ou substituição trigonométrica x=\tan\theta. Vou usar x=\tan\theta porque transforma 1+x^{2} em \operatorname{sec}^{2}\theta de maneira direta e deixa a integral bem simples (fica com potências de cosseno). Esse método é mais curto e fácil de acompanhar numa prova.

Passo 3

Faço a substituição trigonométrica:
x=\tan\theta \quad\Rightarrow\quad dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Note que
1+x^{2}=1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\int \frac{1}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}}\cdot \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular \int \cos^{2}\theta\,d\theta. Usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Logo
\int \cos^{2}\theta\,d\theta =\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int 1\,d\theta+\frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta.
Integrando:
\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2}+C =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+C.
Observação útil: \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, então \dfrac{1}{4}\sin(2\theta)=\dfrac{1}{2}\sin\theta\cos\theta.

Passo 5

Volto para a variável x. Temos \theta=\arctan x. Com x=\tan\theta,
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}},
então
\sin\theta\cos\theta=\frac{x}{1+x^{2}}.
Substituindo na primitiva obtida em \theta:
\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta + C =\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^{2}}+C.
Podemos escrever de forma limpa:
\boxed{\frac{x}{2(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\arctan x + C.}

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a expressão encontrada para checar que volta a 1/(1+x^{2})^{2}.
Calcule \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{2(1+x^{2})}\right).
Escrevendo como \dfrac{1}{2}x(1+x^{2})^{-1} e derivando:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2(1+x^{2})}\right) =\frac{1}{2}\Big((1+x^{2})^{-1}+x\cdot(-1)(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x\Big) =\frac{1}{2}\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Derivando a outra parte,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\arctan x\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{2}\frac{1+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Somando as duas derivadas:
\frac{1}{2}\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}+\frac{1}{2}\frac{1+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
Confere OK.

Resposta

\dfrac{x}{2(1+x^{2})}+\dfrac{1}{2}\arctan x + C

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