Calcule as integrais:
\int 2 x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x^{3} \cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 2 x^{3} \cos\left(x^{2}\right).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2 x^{3} \cos\left(x^{2}\right).
  • Devemos apresentar a resposta com constante de integração C.

Passo 2

Observando o integrando, é útil reescrever 2 x^{3} como 2 x^{2}\cdot x, pois aparece a composição \cos\big(x^{2}\big). Faço a substituição
u = x^{2}.
Agora calculo o diferencial:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Reescrevendo a integral em termos de u:
\int 2 x^{3} \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int 2 x^{2}\cdot x\cdot \cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Como x^{2}=u e x\,dx=\dfrac{du}{2}, substituo:
\int 2 x^{2}\cdot x\cdot \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int 2 u \cdot \cos(u)\cdot \frac{du}{2}.
Os fatores 2 se cancelam, ficando a integral mais simples:
\int u\cos(u)\,du.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int u\cos(u)\,du. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int U\,dV = U V - \int V\,dU,
onde U e dV são funções escolhidas para facilitar o cálculo; dU é o diferencial de U e V é uma primitiva de dV.
Escolho
U = u,\qquad dV = \cos(u)\,du.
Então
dU = du,\qquad V = \sin(u)
porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Aplicando a fórmula:
\int u\cos(u)\,du = U V - \int V\,dU = u\sin(u) - \int \sin(u)\,du.
Calculo \int \sin(u)\,du = -\cos(u). Portanto
\int u\cos(u)\,du = u\sin(u) - \big(-\cos(u)\big) = u\sin(u) + \cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Volto à variável original usando u=x^{2}. Substituindo:
u\sin(u)+\cos(u)+C \longrightarrow x^{2}\sin\big(x^{2}\big)+\cos\big(x^{2}\big)+C.
Posso, como verificação extra, derivar essa expressão para checar se volta ao integrando:
\frac{d}{dx}\big[x^{2}\sin(x^{2})+\cos(x^{2})\big] = 2x\sin(x^{2}) + x^{2}\cdot 2x\cos(x^{2}) - 2x\sin(x^{2}) = 2x^{3}\cos(x^{2}),
que coincide com o integrando original. Boa sinal — a primitiva está correta.

Passo 5

Resumo do método aprendido (dica prática para prova):
  • Quando vir \cos(x^{2}) multiplicada por potências de x, tente ver se dá para escrever x^{n} como x^{2}\cdot x^{m} e usar a substituição u=x^{2} porque du traz um x\,dx.
  • Se após a substituição surgir uma integral do tipo \int u\cos(u)\,du ou \int u\sin(u)\,du, aplique integração por partes diretamente.
  • Sempre verifique derivando o resultado para confirmar.

Resposta

x^{2}\sin\left(x^{2}\right)+\cos\left(x^{2}\right)+C

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