Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Devemos apresentar a resposta com constante de integração
.
Passo 2
Observando o integrando, é útil reescrever
como
, pois aparece a composição
. Faço a substituição
Agora calculo o diferencial:
Reescrevendo a integral em termos de
:
Como
e
, substituo:
Os fatores
se cancelam, ficando a integral mais simples:
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas para facilitar o cálculo;
é o diferencial de
e
é uma primitiva de
.
Escolho
Então
porque
. Aplicando a fórmula:
Calculo
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Volto à variável original usando
. Substituindo:
Posso, como verificação extra, derivar essa expressão para checar se volta ao integrando:
que coincide com o integrando original. Boa sinal — a primitiva está correta.
Passo 5
Resumo do método aprendido (dica prática para prova):
- Quando vir
multiplicada por potências de , tente ver se dá para escrever como e usar a substituição porque traz um . - Se após a substituição surgir uma integral do tipo
ou , aplique integração por partes diretamente. - Sempre verifique derivando o resultado para confirmar.