Um móvel desloca-se sobre o eixo 0 x com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x=x(t) do móvel, supondo \ddot{x}(0)=2, \dot{x}(0)=1 e x(0)=0.

Passo 1

O enunciado diz que um móvel no eixo 0x tem aceleração proporcional à diferença entre velocidade e posição. Ou seja, existe uma constante k tal que
\ddot x(t)=k\bigl(\dot x(t)-x(t)\bigr).
As condições iniciais são \ddot x(0)=2, \dot x(0)=1 e x(0)=0.
Vamos usar a condição em t=0 para achar k e em seguida resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes.

Passo 2

Em t=0 temos
\ddot x(0)=k\bigl(\dot x(0)-x(0)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 2 = k\,(1-0) \quad\Longrightarrow\quad k=2.

Passo 3

Substituindo k=2 na equação diferencial obtemos
\ddot x - 2\,\dot x + 2\,x = 0.
Para resolver, montamos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0
cuja solução é
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i.

Passo 4

Como as raízes são 1\pm i, a solução geral é
x(t) = e^{t}\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr).
Usando x(0)=0
x(0)=C=0.

Passo 5

Derivando
x'(t) = e^{t}\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr) + e^{t}\bigl(-C\sin t + D\cos t\bigr) = e^{t}\bigl[C(\cos t - \sin t)+D(\cos t + \sin t)\bigr],
e impondo \dot x(0)=1 com C=0, temos
x'(0)=D=1.
Logo a solução particular é
x(t)=e^{t}\sin t.

Resposta

x(t)=e^{t}\sin t.

Exercícios relacionados