Sejam f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} uma função escalar e G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um campo vetorial, ambos de classe C^{l}. Responda V, caso a operação seja válida, ou F, caso não seja:
a) (V) \operatorname{rot}(\nabla(\operatorname{div}(G)))
b) (F) \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))
Justifique a(s) falsa(s) indicando qual(is) operação(ōes) não é (são) possivel(veis)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade das composições dos operadores vetoriais \nabla (gradiente), \nabla\cdot (divergência) e \nabla\times (rotacional)
aplicadas a
ambos de classe C^l.
Lembramos:
– \nabla f é um campo vetorial (gradiente de escalar).
– \nabla\cdot G é um escalar (divergência de vetor).
– \nabla\times V é um campo vetorial (rotacional de vetor).
Para que uma composição seja válida, a saída de cada operador deve ser compatível com a entrada do seguinte.
Passo 2
Analisando o item (a):
G \xrightarrow{\nabla\cdot} \underbrace{\operatorname{div}(G)}_{\text{esc}} \xrightarrow{\nabla} \underbrace{\nabla\bigl(\operatorname{div}(G)\bigr)}_{\text{vetor}} \xrightarrow{\nabla\times} \underbrace{\operatorname{rot}\!\bigl(\nabla(\operatorname{div}G)\bigr)}_{\text{vetor}}.
Cada etapa está bem definida:
\nabla\cdot G produz escalar,
então \nabla(\cdot) recebe escalar e retorna vetor,
e por fim \nabla\times(\cdot) recebe vetor.
Logo a operação é válida.
Além disso vale a identidade clássica
\nabla\times(\nabla\varphi)=0,
de modo que o resultado é o campo nulo.
Passo 3
Analisando o item (b):
f \xrightarrow{\nabla} \underbrace{\nabla f}_{\text{vetor}} \xrightarrow{\nabla\cdot} \underbrace{\operatorname{div}(\nabla f)}_{\text{esc}} \xrightarrow{\nabla\times} \operatorname{rot}\!\bigl(\operatorname{div}(\nabla f)\bigr).
Aqui o problema aparece na última etapa:
– \operatorname{div}(\nabla f) é escalar,
– mas \operatorname{rot}=\nabla\times só se aplica a campos vetoriais.
Portanto não faz sentido tomar o rotacional de um escalar, e a composição é inválida.