1. As retas r : \mathrm{X}=(2,3,-1)+\lambda(-2,1,-2) e s: \mathrm{X}=(6,1,3)+\mu(-3,1,-1) são concorrentes.
Encontre o ponto onde elas se interceptam.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas concorrentes em \mathbb{R}^3, definidas parametricamente:
r: (x,y,z)=(2,3,-1)+\lambda(-2,1,-2)
s: (x,y,z)=(6,1,3)+\mu(-3,1,-1)
Precisamos encontrar o ponto de interseção comum, igualando as componentes e resolvendo para \lambda e \mu.

Passo 2

Igualando coordenadas de r e s, obtemos o sistema
\begin{cases} 2 - 2\lambda = 6 - 3\mu,\\\\ 3 + \lambda = 1 + \mu,\\\\ -1 - 2\lambda = 3 - \mu. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos \mu:
3 + \lambda = 1 + \mu \qquad\Longrightarrow\qquad \mu = 2 + \lambda.

Passo 4

Substituindo \mu=2+\lambda na primeira equação:
2 - 2\lambda = 6 - 3(2+\lambda) \quad\Longrightarrow\quad 2 - 2\lambda = 6 -6 -3\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2 - 2\lambda = -3\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -2.
Logo \mu = 2 + (-2)=0. Verificando na terceira equação:
-1 - 2(-2)=3 \quad\text{e}\quad 3 - \mu = 3 - 0 = 3,
está consistente.

Passo 5

Para \lambda=-2, obtemos o ponto em r:
(x,y,z) = (2,3,-1) + (-2)\,(-2,1,-2) = (2+4,\;3-2,\;-1+4) = (6,1,3).

Resposta

(6,1,3)

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