Calcule as integrais:
\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos^{4}(2t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos^{4}(2t).
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=\pi.

Passo 2

Vamos escolher uma técnica: reduzir a potência da função trigonométrica usando identidades de ângulo duplo/potência reduzida. Isso é útil porque integrais de potências pares de cosseno podem ser transformadas em soma de cossenos de múltiplos ângulos, cujas integrais são fáceis de calcular.
Lembrete e derivação da identidade que usaremos:
a identidade do cosseno do ângulo duplo é
\cos(2x)=2\cos^{2}x-1.
Desse modo isolamos \cos^{2}x:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Isso vale para qualquer variável angular x. Iremos aplicar essa relação duas vezes porque temos \cos^{4}.

Passo 3

Primeiro escrevemos \cos^{4}(2t) como \big(\cos^{2}(2t)\big)^{2} e aplicamos a identidade:
\cos^{2}(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}.
Logo
\cos^{4}(2t)=\left(\frac{1+\cos(4t)}{2}\right)^{2}.
Agora expandimos o quadrado:
\cos^{4}(2t)=\frac{1}{4}\big(1+2\cos(4t)+\cos^{2}(4t)\big).

Passo 4

Ainda precisamos reduzir \cos^{2}(4t). Aplicando de novo a identidade com x=4t:
\cos^{2}(4t)=\frac{1+\cos(8t)}{2}.
Substituindo em \cos^{4}(2t) obtemos
\cos^{4}(2t)=\frac{1}{4}\left(1+2\cos(4t)+\frac{1+\cos(8t)}{2}\right).
Agora simplificamos os termos numéricos e coeficientes:
\cos^{4}(2t)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(4t)+\frac{1}{8}\cos(8t).

Passo 5

Substituímos a expressão reduzida na integral e integramos termo a termo:
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(2t)\,dt =\int_{0}^{\pi}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(4t)+\frac{1}{8}\cos(8t)\right)dt.
Separe em três integrais:
\int_{0}^{\pi}\frac{3}{8}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(4t)\,dt+\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi}\cos(8t)\,dt.

Passo 6

Calcule cada integral:
  • Para a constante:
\int_{0}^{\pi}\frac{3}{8}\,dt=\frac{3}{8}\cdot\big[t\big]_{0}^{\pi}=\frac{3}{8}\pi.
  • Para os cossenos usamos \int \cos(k t)\,dt=\frac{1}{k}\sin(k t). Assim
\int_{0}^{\pi}\cos(4t)\,dt=\left[\frac{1}{4}\sin(4t)\right]_{0}^{\pi}=\frac{1}{4}\big(\sin(4\pi)-\sin(0)\big)=0,
porque \sin(4\pi)=\sin(0)=0.
\int_{0}^{\pi}\cos(8t)\,dt=\left[\frac{1}{8}\sin(8t)\right]_{0}^{\pi}=\frac{1}{8}\big(\sin(8\pi)-\sin(0)\big)=0,
porque \sin(8\pi)=0.

Passo 7

Somando os resultados:
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(2t)\,dt=\frac{3}{8}\pi+ \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{8}\cdot 0 = \frac{3\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{8}

Exercícios relacionados