Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até .
Passo 2
Vamos escolher uma técnica: reduzir a potência da função trigonométrica usando identidades de ângulo duplo/potência reduzida. Isso é útil porque integrais de potências pares de cosseno podem ser transformadas em soma de cossenos de múltiplos ângulos, cujas integrais são fáceis de calcular.
Lembrete e derivação da identidade que usaremos:
a identidade do cosseno do ângulo duplo é
a identidade do cosseno do ângulo duplo é
Desse modo isolamos
:
Isso vale para qualquer variável angular
. Iremos aplicar essa relação duas vezes porque temos
.
Passo 3
Primeiro escrevemos
como
e aplicamos a identidade:
Logo
Agora expandimos o quadrado:
Passo 4
Ainda precisamos reduzir
. Aplicando de novo a identidade com
:
Substituindo em
obtemos
Agora simplificamos os termos numéricos e coeficientes:
Passo 5
Substituímos a expressão reduzida na integral e integramos termo a termo:
Separe em três integrais:
Passo 6
Calcule cada integral:
- Para a constante:
- Para os cossenos usamos
. Assim
porque
.
porque
.
Passo 7
Somando os resultados: