Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia geral (passo didático e intuitivo): quando aparece um produto de potências de
e
, existe uma estratégia padrão que costuma simplificar muito:
- se a potência de
for par, é conveniente separar um fator e usar a identidade
porque a substituição
transforma
em
e deixa a integral em termos de
. Vou seguir essa ideia aqui.
Passo 3
Separe um fator
do integrando e escreva o restante usando
. Começando por
Agora use
para escrever
. Assim o integrando fica
Portanto a integral original pode ser reescrita como
Passo 4
Faça a substituição
. Então
. Substituindo na integral obtemos uma integral em
:
Passo 5
Expanda
para facilitar a integração:
Multiplicando por
dá
Agora integramos termo a termo usando a regra de potência
:
Ou seja,
Passo 6
Volte à variável original
lembrando que
. Substituindo,
é uma primitiva da função dada. Pode-se, se quiser, fatorar
, mas a forma acima já está explícita e adequada.