Calcule as integrais:
\int \tan ^{4} x \operatorname{sec} ^{6} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tan^{4}x\\ \operatorname{sec}^{6}x\\ dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \tan^{4}x\\ \operatorname{sec}^{6}x.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral (passo didático e intuitivo): quando aparece um produto de potências de \tan x e \operatorname{sec} x, existe uma estratégia padrão que costuma simplificar muito:
  • se a potência de \operatorname{sec} x for par, é conveniente separar um fator \operatorname{sec}^{2}x e usar a identidade
\operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x,
porque a substituição
u=\tan x\quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec}^{2}x\\ dx
transforma \operatorname{sec}^{2}x\\ dx em du e deixa a integral em termos de u. Vou seguir essa ideia aqui.

Passo 3

Separe um fator \operatorname{sec}^{2}x do integrando e escreva o restante usando \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x. Começando por
\tan^{4}x\\ \operatorname{sec}^{6}x = \tan^{4}x\\ \operatorname{sec}^{4}x\\ \operatorname{sec}^{2}x = \tan^{4}x\\ (\operatorname{sec}^{2}x)^{2}\\ \operatorname{sec}^{2}x.
Agora use \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x para escrever (\operatorname{sec}^{2}x)^{2}=(1+\tan^{2}x)^{2}. Assim o integrando fica
\tan^{4}x\\ (1+\tan^{2}x)^{2}\\ \operatorname{sec}^{2}x.
Portanto a integral original pode ser reescrita como
\int \tan^{4}x\\ (1+\tan^{2}x)^{2}\\ \operatorname{sec}^{2}x\\ dx.

Passo 4

Faça a substituição u=\tan x. Então du=\operatorname{sec}^{2}x\\ dx. Substituindo na integral obtemos uma integral em u:
\int \tan^{4}x\\ (1+\tan^{2}x)^{2}\\ \operatorname{sec}^{2}x\\ dx = \int u^{4}\\ (1+u^{2})^{2}\\ du.

Passo 5

Expanda (1+u^{2})^{2} para facilitar a integração:
(1+u^{2})^{2} = 1 + 2u^{2} + u^{4}.
Multiplicando por u^{4}
u^{4}(1+u^{2})^{2} = u^{4} + 2u^{6} + u^{8}.
Agora integramos termo a termo usando a regra de potência \displaystyle \int u^{n}\\ du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C:
\int \bigl(u^{4} + 2u^{6} + u^{8}\bigr)\\ du = \frac{u^{5}}{5} + 2\cdot\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C.
Ou seja,
\frac{u^{5}}{5} + \frac{2u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C.

Passo 6

Volte à variável original x lembrando que u=\tan x. Substituindo,
\frac{\tan^{5}x}{5} + \frac{2\tan^{7}x}{7} + \frac{\tan^{9}x}{9} + C
é uma primitiva da função dada. Pode-se, se quiser, fatorar \tan^{5}x, mas a forma acima já está explícita e adequada.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{2\tan^{7}x}{7}+\frac{\tan^{9}x}{9}+C

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