Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica muito essa integral. Lembra da identidade pitagórica para seno e cosseno:
Dividindo ambos os lados por
(válido onde
, e nesses limites
não é zero exceto possivelmente em pontos fora do intervalo aberto), obtemos
onde definimos
e
. Dessa identidade isolamos
Esta substituição é útil porque a integral de
é conhecida.
Passo 3
Reescrevemos a integral usando a identidade:
Agora usamos antiderivadas conhecidas:
- A derivada de
é . Portanto uma primitiva de é . - Uma primitiva de
é .
Assim uma primitiva para
é
Portanto, pela regra de Barrow (teorema fundamental do cálculo),
Passo 4
Avaliamo-s o valor da primitiva nos limites.
Primeiro, valores trigonométricos:
Agora substituímos na primitiva:
Substituindo os valores de
:
Juntando os termos em
:
Portanto o valor da integral é