Calcule as integrais:
\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \cot ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cot^{2} x \, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=\pi/6 e x=\pi/2.
  • A função a integrar é \cot^{2} x.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica muito essa integral. Lembra da identidade pitagórica para seno e cosseno:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dividindo ambos os lados por \sin^{2}x (válido onde \sin x\neq0, e nesses limites \sin x não é zero exceto possivelmente em pontos fora do intervalo aberto), obtemos
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x,
onde definimos \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Dessa identidade isolamos
\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
Esta substituição é útil porque a integral de \csc^{2}x é conhecida.

Passo 3

Reescrevemos a integral usando a identidade:
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cot^{2} x \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \bigl(\csc^{2}x-1\bigr)\,dx.
Agora usamos antiderivadas conhecidas:
  • A derivada de \cot x é -\csc^{2}x. Portanto uma primitiva de \csc^{2}x é -\cot x.
  • Uma primitiva de 1 é x.
Assim uma primitiva para \csc^{2}x-1 é
-\cot x - x.
Portanto, pela regra de Barrow (teorema fundamental do cálculo),
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cot^{2} x \, dx = \Bigl[-\cot x - x\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/2}.

Passo 4

Avaliamo-s o valor da primitiva nos limites.
Primeiro, valores trigonométricos:
\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)}=\frac{0}{1}=0, \qquad \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.
Agora substituímos na primitiva:
\Bigl[-\cot x - x\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/2} = \bigl(-\cot(\tfrac{\pi}{2})-\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\bigl(-\cot(\tfrac{\pi}{6})-\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Substituindo os valores de \cot:
= \bigl(-0-\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\bigl(-\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \tfrac{\pi}{6}.
Juntando os termos em \pi:
-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{3\pi}{6}+\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{2\pi}{6}=-\tfrac{\pi}{3}.
Portanto o valor da integral é
\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}

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