Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não há domínio ou limites especificados (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona
e
. A identidade básica é
Dividindo ambos os lados por
(válido onde
) obtemos
Isolando
vem
Esta identidade é o truque clássico para integrar potências de
.
Passo 3
Usando a identidade, reescrevemos a integral original:
Agora a integral fica separada em duas integrais mais simples:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, lembrar a derivada de
:
Isso significa que uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é uma constante (que vamos agrupar depois).
O segundo termo é trivial:
Passo 5
Substituindo as primitivas na expressão separada e agrupando as constantes
e
numa única constante
, obtemos
Passo 6
Comentário didático extra (modo alternativo, só para reforçar): outra via é fazer a substituição
. Então
e, usando
, a integral pode ser manipulada e também leva a
. Essa via é um pouco mais longa aqui, por isso preferimos a identidade
, que é direta e rápida na prova.