Calcule as integrais:
\int \tan ^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int \tan^{2} x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \tan^{2} x.
  • Não há domínio ou limites especificados (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona \tan e \operatorname{sec}. A identidade básica é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dividindo ambos os lados por \cos^{2}x (válido onde \cos x\neq0) obtemos
\tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x.
Isolando \tan^{2}x vem
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Esta identidade é o truque clássico para integrar potências de \tan.

Passo 3

Usando a identidade, reescrevemos a integral original:
\int \tan^{2}x\,dx=\int\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big)\,dx.
Agora a integral fica separada em duas integrais mais simples:
\int\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big)\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int 1\,dx.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, lembrar a derivada de \tan x:
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Portanto
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C_1,
onde C_1 é uma constante (que vamos agrupar depois).
O segundo termo é trivial:
\int 1\,dx = x + C_2.

Passo 5

Substituindo as primitivas na expressão separada e agrupando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos
\int \tan^{2}x\,dx = \tan x - x + C.

Passo 6

Comentário didático extra (modo alternativo, só para reforçar): outra via é fazer a substituição u=\tan x. Então du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx e, usando \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x=1+u^{2}, a integral pode ser manipulada e também leva a \tan x - x + C. Essa via é um pouco mais longa aqui, por isso preferimos a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, que é direta e rápida na prova.

Resposta

\tan x - x + C

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