Se f(2)=6, f(5)=1, f^{\prime}(2)=-3 e f^{\prime}(5)=-1, calcule \int_{2}^{5} x f^{\prime \prime}(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f(2)=6.
  • f(5)=1.
  • f'(2)=-3.
  • f'(5)=-1.
A pergunta é: calcular
\int_{2}^{5} x\,f''(x)\,dx.

Passo 2

Vamos escolher um método. Uma forma direta é usar integração por partes. Outra forma simples (equivalente) é usar a regra do produto para observar que a derivada de x f'(x) envolve x f''(x). Vou mostrar os dois raciocínios, começando pela integração por partes, porque é um método padrão que vale para muitos problemas parecidos.
Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u (ou seja, du=u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas e é muito útil quando uma parte simplifica ao derivar e outra é fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando integração por partes em
\int_{2}^{5} x\,f''(x)\,dx,
escolhemos u=x e dv=f''(x)\,dx. Então:
  • du = dx,
  • v é uma primitiva de f''(x), logo v=f'(x) (pois \dfrac{d}{dx}f'(x)=f''(x)).
Substituindo na fórmula:
\int_{2}^{5} x\,f''(x)\,dx = \big[ x\,f'(x) \big]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} f'(x)\,dx.

Passo 4

Explico os termos:
  • \big[ x\,f'(x) \big]_{2}^{5} significa 5f'(5) - 2f'(2) (avaliar x f'(x) em x=5 e em x=2 e subtrair).
  • \int_{2}^{5} f'(x)\,dx pode ser avaliado pelo Teorema Fundamental do Cálculo: uma primitiva de f'(x) é f(x). Logo
\int_{2}^{5} f'(x)\,dx = f(5)-f(2).
Portanto temos a expressão útil
\int_{2}^{5} x\,f''(x)\,dx = \big(5f'(5)-2f'(2)\big) - \big(f(5)-f(2)\big).

Passo 5

Agora substituímos os dados fornecidos:
  • f'(5) = -1, então 5f'(5) = 5\cdot(-1) = -5.
  • f'(2) = -3, então 2f'(2) = 2\cdot(-3) = -6.
  • f(5) = 1.
  • f(2) = 6.

Passo 6

Calcule os termos numéricos:
5f'(5)-2f'(2) = (-5) - (-6) = 1.
f(5)-f(2) = 1 - 6 = -5.

Passo 7

Combine os resultados na fórmula:
\int_{2}^{5} x\,f''(x)\,dx = 1 - (-5) = 1 + 5 = 6.
(Você também pode ver rapidamente que isso coincide com escrever x f''(x) = (x f'(x))' - f'(x) e integrar termo a termo; é exatamente a mesma conta.)

Resposta

6

Exercícios relacionados