Se
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
. -
.
A pergunta é: calcular
Passo 2
Vamos escolher um método. Uma forma direta é usar integração por partes. Outra forma simples (equivalente) é usar a regra do produto para observar que a derivada de
envolve
. Vou mostrar os dois raciocínios, começando pela integração por partes, porque é um método padrão que vale para muitos problemas parecidos.
Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
(ou seja,
) e
é uma primitiva de
. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas e é muito útil quando uma parte simplifica ao derivar e outra é fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando integração por partes em
escolhemos
e
. Então:
-
, -
é uma primitiva de , logo (pois ).
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Explico os termos:
-
significa (avaliar em e em e subtrair). -
pode ser avaliado pelo Teorema Fundamental do Cálculo: uma primitiva de é . Logo
Portanto temos a expressão útil
Passo 5
Agora substituímos os dados fornecidos:
-
, então . -
, então . -
. -
.
Passo 6
Calcule os termos numéricos:
Passo 7
Combine os resultados na fórmula:
(Você também pode ver rapidamente que isso coincide com escrever
e integrar termo a termo; é exatamente a mesma conta.)