Calcule as integrais
\int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2}\left(\frac{\theta}{3}\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\!\Bigl(\frac{\theta}{3}\Bigr)\,d\theta.
Aqui vamos usar integração de funções trigonométricas, em particular a identidade de ângulo duplo para \sin^2 x e a antiderivada de \cos x.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}
com x = \frac{\theta}{3}. Assim,
\sin^2\!\Bigl(\frac{\theta}{3}\Bigr) = \frac{1 - \cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)}{2},
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\int_{0}^{2\pi}\sin^2\!\Bigl(\frac{\theta}{3}\Bigr)d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\Bigl[1 - \cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\Bigr]d\theta.

Passo 3

Separamos em duas integrais:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)d\theta.
A primeira é imediata:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi.

Passo 4

Para a segunda, usamos a antiderivada
\int \cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)d\theta = \frac{3}{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr).
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)d\theta = \frac{3}{2}\Bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\Bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{3}{2}\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)-\sin(0)\Bigr) = \frac{3}{2}\Bigl(-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr) = -\frac{3\sqrt3}{4}.

Passo 5

Reunindo tudo:
\frac{1}{2}\Bigl(2\pi - \bigl(-\tfrac{3\sqrt3}{4}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(2\pi + \frac{3\sqrt3}{4}\Bigr) = \pi + \frac{3\sqrt3}{8}.

Resposta

\pi + \frac{3\sqrt3}{8}

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