Calcule as integrais
\int \frac{\sin \rho}{\cos ^{3} \rho} d \rho

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin \rho}{\cos^{3}\rho}\,d\rho.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição: perceber que a derivada de \cos\rho envolve \sin\rho, facilitando a resolução.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos\rho,
de modo que
du = -\sin\rho\,d\rho \quad\Longrightarrow\quad \sin\rho\,d\rho = -du.
Assim, a integral em \rho transforma-se numa integral em u:
\int \frac{\sin \rho}{\cos^{3}\rho}\,d\rho = \int \frac{-du}{u^{3}} = -\int u^{-3}\,du.

Passo 3

Agora basta calcular a primitiva de u^{-3}:
-\int u^{-3}\,du = -\frac{u^{-2}}{-2} = \frac{1}{2}\,u^{-2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original \rho, lembrando que u=\cos\rho, obtemos
\frac{1}{2}\,u^{-2} + C = \frac{1}{2}\,\frac{1}{\cos^{2}\rho} + C = \frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\rho + C.

Resposta

\int \frac{\sin \rho}{\cos^{3}\rho}\,d\rho = \frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\rho + C.

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