Calcule as integrais
\int_{0}^{\pi / 2}(2-\sin x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2}(2-\sin x)^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função polinomial em \sin x. Vamos expandir o quadrado e usar integrais conhecidas de constantes, de \sin x e de \sin^2 x.

Passo 2

Expandindo o integrando, temos
(2-\sin x)^{2} = 4 - 4\sin x + \sin^{2}x.

Passo 3

Então a integral vira a soma de três integrais:
\int_{0}^{\pi/2}(2-\sin x)^{2}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}4\,dx -4\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx +\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx.

Passo 4

Calculemos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}4\,dx = 4\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi/2} = 4\cdot\frac{\pi}{2} = 2\pi. 2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi/2} = -(0-1) = 1,
    logo -4\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = -4.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx = \frac{\pi}{4} (fato conhecido ou obtido pela identidade de meia-ângulo).

Passo 5

Somando tudo:
\int_{0}^{\pi/2}(2-\sin x)^{2}\,dx = 2\pi - 4 + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - 4 = \frac{9\pi}{4} - 4.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{4} - 4

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