Calcule as integrais
\int \sin ^{2} \theta \cos ^{3} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função trigonométrica do tipo produto de potências de seno e cosseno:
\int \sin^{2}\theta \,\cos^{3}\theta \,d\theta.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando a identidade \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta e depois uma substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta para reescrever \cos^{3}\theta = \cos^{2}\theta\cdot\cos\theta. Assim,
\int \sin^{2}\theta \,\cos^{3}\theta \,d\theta = \int \sin^{2}\theta \,(1 - \sin^{2}\theta)\,\cos\theta \,d\theta.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin\theta, \quad du = \cos\theta\,d\theta.
A integral torna-se
\int \sin^{2}\theta\,(1 - \sin^{2}\theta)\,\cos\theta \,d\theta = \int \bigl(u^{2}(1 - u^{2})\bigr)\,du = \int \bigl(u^{2} - u^{4}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \bigl(u^{2} - u^{4}\bigr)\,du = \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} + C.
Voltando a \theta com u = \sin\theta, obtemos
\frac{\sin^{3}\theta}{3} - \frac{\sin^{5}\theta}{5} + C.

Resposta

\frac{\sin^{3}\theta}{3} \;-\;\frac{\sin^{5}\theta}{5} \;+\;C.

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