Calcule as integrais
\int \tan ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função \tan^2\theta, ou seja, calcular
\int \tan^2\theta \,d\theta.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos usar a identidade que relaciona \tan^2\theta e \operatorname{sec}^2\theta.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1,
para reescrever a integral como
\int \tan^2\theta \,d\theta = \int\bigl(\operatorname{sec}^2\theta - 1\bigr)\,d\theta.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \operatorname{sec}^2\theta \,d\theta = \tan\theta porque a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^2\theta.
  2. \displaystyle \int 1\,d\theta = \theta.
    Logo,
\int\bigl(\operatorname{sec}^2\theta - 1\bigr)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \tan^2\theta \,d\theta = \tan\theta - \theta + C.

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