Calcule as integrais:
\int_{0}^{2 \pi} x \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} x \sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que usamos quando temos um produto de funções (neste caso x e \sin(x/2)).

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = x,\quad dv = \sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx,
então
du = dx,\quad v = \int \sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = -2\cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Substituindo,
\int x\sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = -2x\cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) - \int \bigl(-2\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)\,dx = -2x\cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + 2\int \cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx.
Para completar, note que
\int \cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = 2\sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr),
logo uma antiderivada é
F(x) = -2x\cos\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + 4\sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos F(x) de 0 a 2\pi:
F(2\pi) = -2\,(2\pi)\cos(\pi) + 4\sin(\pi) = -4\pi\cdot(-1) + 0 = 4\pi,
F(0) = -2\cdot0\cdot\cos(0) + 4\sin(0) = 0.
Portanto,
\int_{0}^{2\pi} x \sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\,dx = F(2\pi) - F(0) = 4\pi.

Resposta

4\pi

Exercícios relacionados