Calcule as integrais:
\int_{0}^{2 \pi} x \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2\pi} x \,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes da integral:
u = x \quad\Longrightarrow\quad du = dx,
dv = \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Para achar v, fazemos a substituição interna ou lembramos que
\int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 3

Aplicando integração por partes na integral indefinida:
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = x\cdot\bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr) - \int \bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Isso fica
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +2\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
E sabemos que
\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
logo a primitiva geral é
-2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Passo 4

Agora avaliamos essa antiderivada entre os limites 0 e 2\pi:
F(x) = -2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Calculamos F(2\pi) e F(0):
F(2\pi) = -2\,(2\pi)\cos(\pi) + 4\sin(\pi) = -4\pi\cdot(-1) + 0 = 4\pi,
F(0) = -2\cdot0\cdot\cos(0) + 4\sin(0) = 0.

Passo 5

Subtraindo,
\int_{0}^{2\pi} x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = F(2\pi) - F(0) = 4\pi - 0 = 4\pi.

Resposta

4\pi

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