Sejam f e g funções contínuas tais que:
\int_{-1}^{2} f(x) d x=5 \quad \int_{-1}^{2} g(y) d y=7 \quad \int_{0}^{2} f(t) d t=8
Calcule:
\int_{-1}^{0} f(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá que f e g são funções contínuas e fornece os seguintes valores:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 5, \quad \int_{-1}^{2} g(y)\,dy = 7, \quad \int_{0}^{2} f(t)\,dt = 8.
Queremos encontrar \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx. Para isso, usaremos a propriedade de aditividade dos integrais em intervalos contíguos.

Passo 2

A propriedade de aditividade diz que, para integrais de f em [-1,2],
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Como sabemos que \int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 5 e \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 8, temos
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \int_{-1}^{2} f(x)\,dx - \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5 - 8 = -3.

Resposta

-3

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