Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
, ou seja, calcular
Informações dadas: a integranda é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, acrescentando a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método (explicação clara e simples): quero transformar a integral de uma expressão trigonométrica em uma integral de polinômio, porque polinômios são fáceis de integrar. Para isso vou escrever
como uma função de
(usando identidades de ângulo duplo) e usar a substituição
, porque
torna
um simples
. Isso é prático pois
contém exatamente um fator
que casa com
.
Passo 3
Vou reescrever
em termos de
. Primeiro use a fórmula do ângulo duplo:
Então
Agora substituo
em termos de
:
Portanto
Expandindo:
logo
Passo 4
Reescrevo a integranda usando
e a expressão de
obtida:
Assim a integral vira
Passo 5
Faço a substituição
. Então
, isto é
. Substituindo na integral:
Passo 6
Expando o produto dentro da integral para ficar um polinômio em
. Primeiro calcule
Agora combine termos:
Portanto a integral é
Passo 7
Integro termo a termo o polinômio em
:
Somando e incluindo a constante
:
Passo 8
Volto à variável original usando
. Assim a primitiva encontrada é