Calcule as integrais
\int \sin ^{3}(x) \cos (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \sin^{3}(x)\cos(4x), ou seja, calcular
\int \sin^{3}(x)\cos(4x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é \sin^{3}(x)\cos(4x). A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, acrescentando a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método (explicação clara e simples): quero transformar a integral de uma expressão trigonométrica em uma integral de polinômio, porque polinômios são fáceis de integrar. Para isso vou escrever \cos(4x) como uma função de \cos x (usando identidades de ângulo duplo) e usar a substituição u=\cos x, porque du=-\sin x\,dx torna \sin x\,dx um simples -du. Isso é prático pois \sin^{3}x=\sin x(1-\cos^{2}x) contém exatamente um fator \sin x que casa com du.

Passo 3

Vou reescrever \cos(4x) em termos de \cos x. Primeiro use a fórmula do ângulo duplo:
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Então
\cos(4x)=\cos(2\cdot 2x)=2\cos^{2}(2x)-1.
Agora substituo \cos(2x) em termos de \cos x:
\cos(2x)=2\cos^{2}x-1 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}(2x)=(2\cos^{2}x-1)^{2}.
Portanto
\cos(4x)=2(2\cos^{2}x-1)^{2}-1.
Expandindo:
(2\cos^{2}x-1)^{2}=4\cos^{4}x-4\cos^{2}x+1,
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\cos(4x)=2(4\cos^{4}x-4\cos^{2}x+1)-1=8\cos^{4}x-8\cos^{2}x+1.

Passo 4

Reescrevo a integranda usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e a expressão de \cos(4x) obtida:
\sin^{3}x\cos(4x)=\sin x\big(1-\cos^{2}x\big)\big(8\cos^{4}x-8\cos^{2}x+1\big).
Assim a integral vira
\int \sin^{3}x\cos(4x)\,dx=\int \sin x\big(1-\cos^{2}x\big)\big(8\cos^{4}x-8\cos^{2}x+1\big)\,dx.

Passo 5

Faço a substituição u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, isto é \sin x\,dx=-du. Substituindo na integral:
\int \sin x\big(1-u^{2}\big)\big(8u^{4}-8u^{2}+1\big)\,dx = -\int \big(1-u^{2}\big)\big(8u^{4}-8u^{2}+1\big)\,du.

Passo 6

Expando o produto dentro da integral para ficar um polinômio em u. Primeiro calcule
(1-u^{2})(8u^{4}-8u^{2}+1)=8u^{4}-8u^{2}+1-(8u^{6}-8u^{4}+u^{2}).
Agora combine termos:
8u^{4}-8u^{2}+1-8u^{6}+8u^{4}-u^{2}=-8u^{6}+16u^{4}-9u^{2}+1.
Portanto a integral é
-\int \big(-8u^{6}+16u^{4}-9u^{2}+1\big)\,du = \int \big(8u^{6}-16u^{4}+9u^{2}-1\big)\,du.

Passo 7

Integro termo a termo o polinômio em u:
\int 8u^{6}\,du = \frac{8}{7}u^{7},\qquad \int -16u^{4}\,du = -\frac{16}{5}u^{5},
\int 9u^{2}\,du = 3u^{3},\qquad \int -1\,du = -u.
Somando e incluindo a constante C:
\int \big(8u^{6}-16u^{4}+9u^{2}-1\big)\,du = \frac{8}{7}u^{7}-\frac{16}{5}u^{5}+3u^{3}-u + C.

Passo 8

Volto à variável original usando u=\cos x. Assim a primitiva encontrada é
\frac{8}{7}\cos^{7}x-\frac{16}{5}\cos^{5}x+3\cos^{3}x-\cos x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{7}\cos^{7}x-\frac{16}{5}\cos^{5}x+3\cos^{3}x-\cos x + C

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