Integre as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma função
tal que
.
Passo 2
Fazemos a substituição natural que remove o
que multiplica a função de
. Defina
Pela derivada, temos
Portanto
e a integral em
vira uma integral em
:
Passo 3
Agora precisamos integrar
. Reescrevemos
como quadrado de
:
Usamos a identidade trigonométrica básica
onde
. Substituindo:
Passo 4
Expandindo o quadrado:
Logo a integral separa-se em três termos:
Passo 5
As integrais fáceis são:
porque a derivada de
é
, e
Passo 6
Falta
. Use substituição com
. Então
Observe que
Como
e
, obtemos
Integramos termo a termo:
Voltando a
(lembre
):
Passo 7
Agora juntamos tudo:
Combine os termos em
:
Portanto
Passo 8
Volte à variável original usando
. Assim a primitiva da integral original é