Integre as seguintes expressões:
\int e^{x} \tan ^{4}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
\int e^{x}\tan^{4}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando} = e^{x}\tan^{4}\!\bigl(e^{x}\bigr).
Objetivo: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\tan^{4}\!\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 2

Fazemos a substituição natural que remove o e^{x} que multiplica a função de e^{x}. Defina
u=e^{x}.
Pela derivada, temos
du = e^{x}\,dx.
Portanto e^{x}\,dx = du e a integral em x vira uma integral em u:
\int e^{x}\tan^{4}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \tan^{4}(u)\,du.

Passo 3

Agora precisamos integrar \int \tan^{4}(u)\,du. Reescrevemos \tan^{4}(u) como quadrado de \tan^{2}(u):
\tan^{4}(u) = \bigl(\tan^{2}(u)\bigr)^{2}.
Usamos a identidade trigonométrica básica
\tan^{2}(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)-1,
onde \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u). Substituindo:
\tan^{4}(u) = \bigl(\operatorname{sec}^{2}(u)-1\bigr)^{2}.

Passo 4

Expandindo o quadrado:
\bigl(\operatorname{sec}^{2}(u)-1\bigr)^{2} = \operatorname{sec}^{4}(u) - 2\operatorname{sec}^{2}(u) + 1.
Logo a integral separa-se em três termos:
\int \tan^{4}(u)\,du = \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du - 2\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du + \int 1\,du.

Passo 5

As integrais fáceis são:
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u)+C
porque a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u), e
\int 1\,du = u + C.

Passo 6

Falta \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du. Use substituição com t=\tan(u). Então
dt = \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Observe que
\operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot (\operatorname{sec}^{2}(u)\,du).
Como \operatorname{sec}^{2}(u)=1+\tan^{2}(u)=1+t^{2} e \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = dt, obtemos
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \int (1+t^{2})\,dt.
Integramos termo a termo:
\int (1+t^{2})\,dt = t + \frac{t^{3}}{3} + C.
Voltando a u (lembre t=\tan(u)):
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \tan(u) + \frac{1}{3}\tan^{3}(u) + C.

Passo 7

Agora juntamos tudo:
\int \tan^{4}(u)\,du = \biggl(\tan(u) + \frac{1}{3}\tan^{3}(u)\biggr) - 2\tan(u) + u + C.
Combine os termos em \tan(u):
\tan(u) - 2\tan(u) = -\tan(u).
Portanto
\int \tan^{4}(u)\,du = -\tan(u) + \frac{1}{3}\tan^{3}(u) + u + C.

Passo 8

Volte à variável original usando u=e^{x}. Assim a primitiva da integral original é
-\tan\bigl(e^{x}\bigr) + \frac{1}{3}\tan^{3}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x} + C.

Resposta

-\tan\bigl(e^{x}\bigr) + \frac{1}{3}\tan^{3}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x} + C

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