Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de potências de seno e um cosseno de múltiplo do ângulo. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Primeira simplificação útil: escrever
em termos de
e
. Usamos que
, logo
Isso é útil porque transforma a potência do seno numa expressão que envolve
, e isso facilita uma substituição com
.
Passo 3
Precisamos também escrever
em função de
. Usamos a fórmula do cosseno de ângulo duplo duas vezes. Primeiro
Aplicando outra vez (para
em vez de
):
Substituindo
obtemos
Agora expandimos
, portanto
Passo 4
Substituímos as duas expressões na integral. Com
para simplificar a escrita,
Vamos expandir o polinômio
:
Portanto a integranda fica
Passo 5
Agora fazemos a substituição padrão para integrais com fator
multiplicando função de
. Definimos
Diferenciando, obtemos
Assim a integral transforma-se em
Passo 6
Tirando o sinal do menos para dentro (para ficar mais direto de integrar), obtemos
Logo a integral passa a ser
Passo 7
Integramos termo a termo (polinômios integram-se facilmente usando a regra
para
):
Somando todas as parcelas e acrescentando a constante de integração
, a primitiva em função de
é
Passo 8
Voltamos à variável original usando
. Assim a primitiva da integral original é
onde
é a constante de integração. Podemos verificar rapidamente derivando
: pela regra da cadeia obtemos exatamente
, então a primitiva está correta.