Calcule as integrais
\int \sin ^{3}(x) \cos (4 x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{3}(x)\cos(4x)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de potências de seno e um cosseno de múltiplo do ângulo. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\sin^{3}(x)\cos(4x).

Passo 2

Primeira simplificação útil: escrever \sin^{3}(x) em termos de \sin(x) e \cos(x). Usamos que \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x), logo
\sin^{3}(x)=\sin(x)\sin^{2}(x)=\sin(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr).
Isso é útil porque transforma a potência do seno numa expressão que envolve \cos(x), e isso facilita uma substituição com u=\cos(x).

Passo 3

Precisamos também escrever \cos(4x) em função de \cos(x). Usamos a fórmula do cosseno de ângulo duplo duas vezes. Primeiro
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Aplicando outra vez (para 2x em vez de x):
\cos(4x)=2\cos^{2}(2x)-1.
Substituindo \cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1 obtemos
\cos(4x)=2\bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr)^{2}-1.
Agora expandimos \bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr)^{2}=4\cos^{4}(x)-4\cos^{2}(x)+1, portanto
\cos(4x)=2\bigl(4\cos^{4}(x)-4\cos^{2}(x)+1\bigr)-1=8\cos^{4}(x)-8\cos^{2}(x)+1.

Passo 4

Substituímos as duas expressões na integral. Com c=\cos(x) para simplificar a escrita,
\sin^{3}(x)\cos(4x)=\sin(x)\bigl(1-c^{2}\bigr)\bigl(8c^{4}-8c^{2}+1\bigr).
Vamos expandir o polinômio \bigl(1-c^{2}\bigr)\bigl(8c^{4}-8c^{2}+1\bigr):
\begin{aligned} (1-c^{2})(8c^{4}-8c^{2}+1)&=8c^{4}-8c^{6}-8c^{2}+8c^{4}+1-c^{2}\\\ &=-8c^{6}+16c^{4}-9c^{2}+1. \end{aligned}
Portanto a integranda fica
\sin^{3}(x)\cos(4x)=\sin(x)\bigl(-8\cos^{6}(x)+16\cos^{4}(x)-9\cos^{2}(x)+1\bigr).

Passo 5

Agora fazemos a substituição padrão para integrais com fator \sin(x) multiplicando função de \cos(x). Definimos
u=\cos(x).
Diferenciando, obtemos
du=-\sin(x)\,dx\quad\text{o que implica}\quad \sin(x)\,dx=-du.
Assim a integral transforma-se em
\int \sin(x)\bigl(-8u^{6}+16u^{4}-9u^{2}+1\bigr)\,dx =-\int \bigl(-8u^{6}+16u^{4}-9u^{2}+1\bigr)\,du.

Passo 6

Tirando o sinal do menos para dentro (para ficar mais direto de integrar), obtemos
-\bigl(-8u^{6}+16u^{4}-9u^{2}+1\bigr)=8u^{6}-16u^{4}+9u^{2}-1.
Logo a integral passa a ser
\int \bigl(8u^{6}-16u^{4}+9u^{2}-1\bigr)\,du.

Passo 7

Integramos termo a termo (polinômios integram-se facilmente usando a regra \int u^{n}du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
\begin{aligned} \int 8u^{6}\,du&=8\cdot\frac{u^{7}}{7}=\frac{8}{7}u^{7},\\[4pt] \int -16u^{4}\,du&=-16\cdot\frac{u^{5}}{5}=-\frac{16}{5}u^{5},\\[4pt] \int 9u^{2}\,du&=9\cdot\frac{u^{3}}{3}=3u^{3},\\[4pt] \int -1\,du&=-u. \end{aligned}
Somando todas as parcelas e acrescentando a constante de integração C, a primitiva em função de u é
\frac{8}{7}u^{7}-\frac{16}{5}u^{5}+3u^{3}-u+C.]

Passo 8

Voltamos à variável original usando u=\cos(x). Assim a primitiva da integral original é
\boxed{\;F(x)=\frac{8}{7}\cos^{7}(x)-\frac{16}{5}\cos^{5}(x)+3\cos^{3}(x)-\cos(x)+C\;},
onde C é a constante de integração. Podemos verificar rapidamente derivando F(x): pela regra da cadeia obtemos exatamente \sin^{3}(x)\cos(4x), então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{8}{7}\cos^{7}(x)-\dfrac{16}{5}\cos^{5}(x)+3\cos^{3}(x)-\cos(x)+C

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