Considere a operação de um evaporador com solução incrustante. O coeficiente global de transferência de calor U_{s} foi medido em função do tempo. Os resultados estão apresentados na tabela que segue:
TEMPO DE OPERAÇÃ0 [h] \boldsymbol{U}_{\boldsymbol{s}}\left[\mathbf{W} \cdot \mathbf{m}^{-\mathbf{2}} \cdot \mathbf{K}^{-\mathbf{1}}\right]
0 1320
20 1140
40 1010
60 905
80 820
Sabe-se que a operação foi iniciada com os tubos do trocador limpos (sem incrustação). Admitindo-se que o tempo de limpeza é de aproximadamente 5 h , calcule tempo de operação correspondente ao ciclo ótimo. Explicite as hipóteses consideradas.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o tempo de operação correspondente ao ciclo ótimo, sabendo que a operação começa com tubos limpos e que o tempo de limpeza é de aproximadamente 5\\ \text{h}. As informações dadas na tabela (retirei os dados explicitamente da tabela) são:
\begin{array}{c|c} \text{Tempo de operação }[h] & U_s\;\left[\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1}\right] \\\ \hline 0 & 1320 \\\\ 20 & 1140 \\\\ 40 & 1010 \\\\ 60 & 905 \\\\ 80 & 820 \end{array}
Resumo dos dados relevantes para resolver o problema:
  • Valores de U_s(t) em t=0,20,40,60,80 h (valores da tabela).
  • Tempo de limpeza t_c = 5\\ \text{h} (dado no enunciado).
  • Objetivo: determinar o tempo de operação T (tempo entre limpezas) que torna ótimo o ciclo de operação + limpeza.

Passo 2

Hipóteses razoáveis (que vou usar para modelar o problema):
  1. A perda de desempenho U_s(t) varia de forma aproximadamente linear com o tempo (vê‑se uma queda quase linear nos dados), então ajustamos um modelo linear U_s(t)=a+bt.
  2. A área do trocador e a diferença de temperatura de projeto permanecem constantes, de modo que o fluxo de calor médio na operação é proporcional à média de U_s sobre o período de operação.
  3. Durante a limpeza (tempo t_c) não ocorre transferência útil de calor (ou é muito reduzida), então o ciclo completo tem duração T+t_c e o total de calor útil entregue no ciclo é proporcional a \int_0^T U_s(t)\,dt.
  4. A limpeza restaura U_s ao valor inicial (retorna ao estado do tempo t=0).
Essas hipóteses são padrão para este tipo de problema de otimização de ciclos de limpeza.

Passo 3

Ajuste linear aos dados (cálculo explícito para que você veja como fazer na prova).
Usamos fórmula de mínimos quadrados para reta U_s(t)=a+bt. Com os dados (obtidos da tabela) temos:
n=5,\quad \sum t=200,\quad \sum t^2=12000,\quad \sum U_s=5195,\quad \sum tU_s=183100.
A inclinação é
b=\frac{n\sum tU_s - (\sum t)(\sum U_s)}{n\sum t^2 - (\sum t)^2} =\frac{5\cdot183100 - 200\cdot5195}{5\cdot12000 - 200^2} =\frac{915500 - 1039000}{60000-40000} =\frac{-123500}{20000}\approx -6{,}175.
O intercepto é
a=\frac{\sum U_s - b\sum t}{n} =\frac{5195 - (-6{,}175)\cdot200}{5} =\frac{5195+1235}{5}=\frac{6430}{5}=1286.
Logo o modelo ajustado é
U_s(t)\approx 1286 - 6{,}175\,t\qquad\text{(com \(t\) em h e \(U_s\) em W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}).

Passo 4

Formulei a função objetivo que vamos maximizar. O calor útil acumulado durante um período de operação de duração T é proporcional a
\int_0^T U_s(t)\,dt=\int_0^T \bigl(a+bt\bigr)\,dt = aT+\frac{b}{2}T^2.
Como cada ciclo tem duração total T+t_c (incluindo limpeza), a métrica a maximizar é a transferência média por unidade de tempo do ciclo:
F(T)=\frac{\displaystyle\int_0^T U_s(t)\,dt}{T+t_c}=\frac{aT+\tfrac{b}{2}T^2}{T+t_c}.
Explicando: maximizar F(T) equivale a escolher T que dá o maior calor médio útil por hora considerando o tempo parado para limpeza — isto é exatamente o critério de “ciclo ótimo” quando não levamos em conta custos monetários da limpeza.

Passo 5

Determinação do T ótimo. Derivamos F(T) e precisamos resolver F'(T)=0.
Calculemos a derivada (fazendo passo a passo):
F'(T)=\frac{(a+bT)(T+t_c)-(aT+\tfrac{b}{2}T^2)\cdot 1}{(T+t_c)^2}.
O numerador (que deve ser zero) é
g(T)=(a+bT)(T+t_c)-\Bigl(aT+\tfrac{b}{2}T^2\Bigr) =a t_c + b t_c T + \frac{b}{2}T^2.
Portanto temos a equação a resolver
a t_c + b t_c T + \frac{b}{2}T^2 = 0.
Multiplicando por 2:
b T^2 + 2 b t_c T + 2 a t_c = 0.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos a=1286, b=-6{,}175 e t_c=5 h na equação:
-6{,}175\,T^2 + 2(-6{,}175)(5)\,T + 2(1286)(5)=0.
Rearranjando (multiplicando por -1) obtemos
6{,}175\,T^2 + 61{,}75\,T -12860 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
T=\frac{-61{,}75 \pm \sqrt{61{,}75^2 - 4\cdot 6{,}175\cdot(-12860)}}{2\cdot 6{,}175}.
Calculemos o discriminante:
\Delta = 61{,}75^2 + 4\cdot 6{,}175\cdot12860 \approx 321455{,}0625.
\sqrt{\Delta}\approx 566{,}97.
Assim a raiz positiva (a outra será negativa e sem sentido físico) é
T\approx \frac{-61{,}75 + 566{,}97}{12{,}35}\approx \frac{505{,}22}{12{,}35}\approx 40{,}9\\ \text{h}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Obtivemos T_{\text{ót}}\approx 40{,}9\\ \text{h}ó. Isso significa que, com limpeza de 5\\ \text{h} que restaura os tubos ao estado inicial, o ciclo que maximiza a transferência média por hora é operar cerca de 41\\ \text{h} e então parar 5\\ \text{h} para limpeza.
  • Podemos conferir qualitativamente: se T muito pequeno perde‑se tempo limpando frequentemente; se T muito grande o U_s degrada muito e reduz média. A solução encontrada é o compromisso ótimo entre esses efeitos.

Passo 8

Lista explícita das hipóteses consideradas (importante anotar isso na prova):
  1. Modelo linear U_s(t)=a+bt ajustado aos dados da tabela (explícito no Passo 3).
  2. A transferência de calor útil durante operação é proporcional a U_s (área e diferença de temperatura constantes).
  3. Durante o tempo de limpeza t_c=5\\ \text{h} não há transferência útil de calor.
  4. A limpeza restaura U_s ao valor inicial U_s(0).
  5. Não foram considerados custos monetários específicos da limpeza nem variações de temperatura de serviço: o critério foi maximizar o calor médio por tempo do ciclo.

Resposta

Tempo ótimo de operação T_{\text{ót}} \approx 40{,}9\\ \text{h}ó.

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