Considere a operação de um evaporador com solução incrustante. O coeficiente global de transferência de calor
foi medido em função do tempo. Os resultados estão apresentados na tabela que segue:
TEMPO DE OPERAÇÃ0 [h]
0
1320
20
1140
40
1010
60
905
80
820
Sabe-se que a operação foi iniciada com os tubos do trocador limpos (sem incrustação). Admitindo-se que o tempo de limpeza é de aproximadamente 5 h , calcule tempo de operação correspondente ao ciclo ótimo. Explicite as hipóteses consideradas.
| TEMPO DE OPERAÇÃ0 [h] |
|
| 0 | 1320 |
| 20 | 1140 |
| 40 | 1010 |
| 60 | 905 |
| 80 | 820 |
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o tempo de operação correspondente ao ciclo ótimo, sabendo que a operação começa com tubos limpos e que o tempo de limpeza é de aproximadamente
. As informações dadas na tabela (retirei os dados explicitamente da tabela) são:
Resumo dos dados relevantes para resolver o problema:
- Valores de
em h (valores da tabela). - Tempo de limpeza
(dado no enunciado). - Objetivo: determinar o tempo de operação
(tempo entre limpezas) que torna ótimo o ciclo de operação + limpeza.
Passo 2
Hipóteses razoáveis (que vou usar para modelar o problema):
- A perda de desempenho
varia de forma aproximadamente linear com o tempo (vê‑se uma queda quase linear nos dados), então ajustamos um modelo linear . - A área do trocador e a diferença de temperatura de projeto permanecem constantes, de modo que o fluxo de calor médio na operação é proporcional à média de
sobre o período de operação. - Durante a limpeza (tempo
) não ocorre transferência útil de calor (ou é muito reduzida), então o ciclo completo tem duração e o total de calor útil entregue no ciclo é proporcional a . - A limpeza restaura
ao valor inicial (retorna ao estado do tempo ).
Essas hipóteses são padrão para este tipo de problema de otimização de ciclos de limpeza.
Passo 3
Ajuste linear aos dados (cálculo explícito para que você veja como fazer na prova).
Usamos fórmula de mínimos quadrados para reta
. Com os dados (obtidos da tabela) temos:
A inclinação é
O intercepto é
Logo o modelo ajustado é
Passo 4
Formulei a função objetivo que vamos maximizar. O calor útil acumulado durante um período de operação de duração
é proporcional a
Como cada ciclo tem duração total
(incluindo limpeza), a métrica a maximizar é a transferência média por unidade de tempo do ciclo:
Explicando: maximizar
equivale a escolher
que dá o maior calor médio útil por hora considerando o tempo parado para limpeza — isto é exatamente o critério de “ciclo ótimo” quando não levamos em conta custos monetários da limpeza.
Passo 5
Determinação do
ótimo. Derivamos
e precisamos resolver
.
Calculemos a derivada (fazendo passo a passo):
O numerador (que deve ser zero) é
Portanto temos a equação a resolver
Multiplicando por 2:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos
,
e
h na equação:
Rearranjando (multiplicando por
) obtemos
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculemos o discriminante:
Assim a raiz positiva (a outra será negativa e sem sentido físico) é
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- Obtivemos
. Isso significa que, com limpeza de que restaura os tubos ao estado inicial, o ciclo que maximiza a transferência média por hora é operar cerca de e então parar para limpeza. - Podemos conferir qualitativamente: se
muito pequeno perde‑se tempo limpando frequentemente; se muito grande o degrada muito e reduz média. A solução encontrada é o compromisso ótimo entre esses efeitos.
Passo 8
Lista explícita das hipóteses consideradas (importante anotar isso na prova):
- Modelo linear
ajustado aos dados da tabela (explícito no Passo 3). - A transferência de calor útil durante operação é proporcional a
(área e diferença de temperatura constantes). - Durante o tempo de limpeza
não há transferência útil de calor. - A limpeza restaura
ao valor inicial . - Não foram considerados custos monetários específicos da limpeza nem variações de temperatura de serviço: o critério foi maximizar o calor médio por tempo do ciclo.
Resposta
Tempo ótimo de operação
.