Resolva as seguintes integrais:
\int x \cot ^{2}(2 x) dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x \cot^{2}(2x)\,dx.
Informações dadas no enunciado que vamos usar: a função integranda é x multiplicada por \cot^{2}(2x). Não há outras condições (é uma primitiva indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil aqui é a identidade pitagórica para cotangente e cossecante:
1+\cot^{2}t=\csc^{2}t.
Dessa identidade segue que
\cot^{2}t=\csc^{2}t-1.
Aplicando com t=2x podemos reescrever \cot^{2}(2x) como \csc^{2}(2x)-1. Isso é útil porque \csc^{2} tem primitiva conhecida.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior, reescrevemos a integral e separamos em duas:
\int x\cot^{2}(2x)\,dx = \int x\big(\csc^{2}(2x)-1\big)\,dx = \int x\csc^{2}(2x)\,dx - \int x\,dx.
A linearidade da integral permite essa separação.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int x\csc^{2}(2x)\,dx vamos usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo que du e v sejam fáceis de manipular. Aqui é conveniente escolher
u = x,\qquad dv = \csc^{2}(2x)\,dx,
então
du = dx.
Precisamos da primitiva de \csc^{2}(2x). Sabemos que \dfrac{d}{dx}\cot(2x) = -2\csc^{2}(2x), logo
\int \csc^{2}(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cot(2x).
Portanto podemos tomar
v = -\tfrac{1}{2}\cot(2x).

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int x\csc^{2}(2x)\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\tfrac{1}{2}\cot(2x)\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}\cot(2x)\right)\,dx.
Simplificando:
\int x\csc^{2}(2x)\,dx = -\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{2}\int \cot(2x)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos \displaystyle \int \cot(2x)\,dx. Use a substituição w=2x ou a primitiva conhecida \int \cot u\,du=\ln|\sin u|+C. Com u=2x obtemos
\int \cot(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\big|\sin(2x)\big| + C.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\int x\csc^{2}(2x)\,dx = -\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\ln\big|\sin(2x)\big| + C = -\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{4}\ln\big|\sin(2x)\big| + C.

Passo 7

Voltando à integral original, lembrando que ela era a diferença entre \int x\csc^{2}(2x)\,dx e \int x\,dx, temos
\int x\cot^{2}(2x)\,dx = \Big(-\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{4}\ln\big|\sin(2x)\big|\Big) - \tfrac{x^{2}}{2} + C.
Agrupando a constante de integração num único C, a primitiva final é
-\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{4}\ln\big|\sin(2x)\big| - \tfrac{x^{2}}{2} + C.

Resposta

-\tfrac{x}{2}\cot(2x) + \tfrac{1}{4}\ln\big|\sin(2x)\big| - \tfrac{x^{2}}{2} + C

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