Resolva as seguintes integrais: \int x \cot ^{2}(2 x) dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x \cot^{2}(2x)\,dx.
Informações dadas no enunciado que vamos usar: a função integranda é x multiplicada por \cot^{2}(2x). Não há outras condições (é uma primitiva indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil aqui é a identidade pitagórica para cotangente e cossecante:
1+\cot^{2}t=\csc^{2}t.
Dessa identidade segue que
\cot^{2}t=\csc^{2}t-1.
Aplicando com t=2x podemos reescrever \cot^{2}(2x) como \csc^{2}(2x)-1. Isso é útil porque \csc^{2} tem primitiva conhecida.
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior, reescrevemos a integral e separamos em duas: