1. Calcule as integrais:
    (a) \int_{0}^{2 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}} d x
    (h) \int x \sqrt{x^{2}+4} d x
    (b) \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2}-1}} d t
    (i) \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}} d x
    (c) \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{25-x^{2}}} d x
    (j) \int \frac{1}{u \sqrt{5-u^{2}}} d u
    (d) \int \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{4}} d x
    (k) \int_{\sqrt{2} / 3}^{2 / 3} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2}-1}} d x
    (e) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+16}} d x
    (l) \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} d x
    (f) \int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+2}} d x
    (m) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-6 x+13}} d x
    (g) \int \sqrt{1-4 x^{2}} d x
    (n) \int x \sqrt{1-x^{4}} d x

1.6.9 Integração de Potências Trigonométricas

  • Estratégias para calcular \int \operatorname{sen}^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x.
    a) Se a potência do cosseno é ímpar:

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais, algumas definidas e outras indefinidas, envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas, potências de x, integrais racionais e trigonométricas. Vamos usar técnicas padrão: substituições trigonométricas para expressões do tipo \sqrt{a^2\pm x^2}, substituições algébricas para potências de x, integração por partes quando necessário e fórmulas para integrais definidas nos limites dados.

Passo 2

(a) \displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{3}}\frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx
Use x=4\sin\theta, dx=4\cos\theta\,d\theta, \sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta. A integral vira
\int_{0}^{\pi/3}64\sin^{3}\theta\,d\theta =64\int_{0}^{\pi/3}\sin^{3}\theta\,d\theta =64\Bigl[-\cos\theta+\tfrac{\cos^{3}\theta}{3}\Bigr]_{0}^{\pi/3} =\frac{40}{3}.

Passo 3

(b) \displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{1}{t^{3}\sqrt{t^{2}-1}}\,dt
Use t=\operatorname{sec} u, dt=\operatorname{sec} u\tan u\,du, \sqrt{t^{2}-1}=\tan u. A integral fica
\int_{u_{0}}^{u_{1}}\cos^{2}u\,du =\int\frac{1+\cos2u}{2}\,du
e, com u_{0}=\pi/4, u_{1}=\pi/3, resulta
\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}-2}{8}.

Passo 4

(c) \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx
Use x=5\sin\theta, dx=5\cos\theta\,d\theta. A integral reduz-se a
\frac{1}{25}\int\csc^{2}\theta\,d\theta =-\frac{1}{25}\cot\theta +C =-\frac{1}{25}\,\frac{\sqrt{25-x^{2}}}{x}+C.

Passo 5

(d) \displaystyle \int\frac{x^{2}-a^{2}}{x^{4}}\,dx
Escreva \frac{x^{2}}{x^{4}}-a^{2}x^{-4}=x^{-2}-a^{2}x^{-4}. Integrando:
\int x^{-2}dx-\!a^{2}\!\int x^{-4}dx =-x^{-1}+\frac{a^{2}}{3}x^{-3}+C =-\frac{1}{x}+\frac{a^{2}}{3x^{3}}+C.

Passo 6

(e) \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+16}}\,dx
É a forma padrão de arco hiperbólico ou logarítmica:
\operatorname{arsinh}\!\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)+C \quad\text{ou}\quad \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+16}\bigr)+C.

Passo 7

(f) \displaystyle \int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx
Use u=x^{2}+2, du=2x\,dx, e x^{4}=(u-2)^{2}. A integral vira polinomial em u dividida por \sqrt{u}, resultando
\frac{1}{5}(x^{2}+2)^{\tfrac{5}{2}} -\frac{4}{3}(x^{2}+2)^{\tfrac{3}{2}} +4\sqrt{x^{2}+2} + C.

Passo 8

(g) \displaystyle \int\sqrt{1-4x^{2}}\,dx
Faça u=2x, dx=du/2. Fica \tfrac12\!\int\sqrt{1-u^{2}}\,du, cuja primitiva é
\frac{u\sqrt{1-u^{2}}+\arcsin u}{4}+C =\frac{x\sqrt{1-4x^{2}}}{2}+\frac{1}{4}\arcsin(2x)+C.

Passo 9

(h) \displaystyle \int x\sqrt{x^{2}+4}\,dx
Use u=x^{2}+4, du=2x\,dx. Dá
\frac12\int\sqrt{u}\,du =\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{\tfrac{3}{2}}+C.

Passo 10

(i) \displaystyle \int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,dx
Use x=3\operatorname{sec}\theta. A integral reduz-se a \frac{1}{3}\int\sin^{2}\theta\,d\theta, cuja primitiva é
\frac{1}{6}\theta -\frac{1}{12}\sin2\theta +C =\frac{1}{6}\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) -\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{2x^{2}}+C.

Passo 11

(j) \displaystyle \int\frac{1}{u\sqrt{5-u^{2}}}\,du
Use u=\sqrt{5}\sin\theta. Obtém-se
-\frac{1}{\sqrt{5}} \ln\Bigl|\csc\theta+\cot\theta\Bigr|+C =-\frac{1}{\sqrt{5}} \ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5-u^{2}}}{u}\Bigr|+C.

Passo 12

(k) \displaystyle \int_{\sqrt{2}/3}^{2/3}\frac{1}{x^{5}\sqrt{9x^{2}-1}}\,dx
Use x=\tfrac{1}{3}\operatorname{sec}\theta. A integral torna-se polinomial em \cos\theta e, após integrar e avaliar em \theta=\pi/4 e \theta=\pi/3, resulta
\frac{81\pi}{32} +\frac{567\sqrt{3}}{64} -\frac{81}{4}.

Passo 13

(l) \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\,dx
Fórmula padrão:
\Bigl[\tfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1}+\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}.

Passo 14

(m) \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-6x+13}}\,dx
Complete o quadrado: x^{2}-6x+13=(x-3)^{2}+4. É integral de \frac{1}{\sqrt{(x-3)^{2}+2^{2}}}, cuja primitiva é
\ln\bigl(x-3+\sqrt{(x-3)^{2}+4}\bigr)+C \quad\bigl(\text{ou }\arsinh\!\tfrac{x-3}{2}+C\bigr).

Passo 15

(n) \displaystyle \int x\sqrt{1-x^{4}}\,dx
Use t=x^{2}, dt=2x\,dx. Fica \tfrac12\!\int\sqrt{1-t^{2}}\,dt, igual ao caso do passo 8, levando a
\frac{x^{2}}{4}\sqrt{1-x^{4}} +\frac{1}{4}\arcsin\!\bigl(x^{2}\bigr)+C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{40}{3}
(b) \displaystyle \frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}-2}{8}
(c) \displaystyle -\frac{1}{25}\,\frac{\sqrt{25-x^{2}}}{x}+C
(d) \displaystyle -\frac{1}{x}+\frac{a^{2}}{3x^{3}}+C
(e) \displaystyle \operatorname{arsinh}\!\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)+C
(f) \displaystyle \frac{1}{5}(x^{2}+2)^{\tfrac{5}{2}}-\frac{4}{3}(x^{2}+2)^{\tfrac{3}{2}}+4\sqrt{x^{2}+2}+C
(g) \displaystyle \frac{x\sqrt{1-4x^{2}}}{2}+\frac{1}{4}\arcsin(2x)+C
(h) \displaystyle \frac{1}{3}(x^{2}+4)^{\tfrac{3}{2}}+C
(i) \displaystyle \frac{1}{6}\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)-\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{2x^{2}}+C
(j) \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\!\Bigl|\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5-u^{2}}}{u}\Bigr|+C
(k) \displaystyle \frac{81\pi}{32}+\frac{567\sqrt{3}}{64}-\frac{81}{4}
(l) \displaystyle \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}
(m) \displaystyle \ln\bigl(x-3+\sqrt{(x-3)^{2}+4}\bigr)+C
(n) \displaystyle \frac{x^{2}}{4}\sqrt{1-x^{4}}+\frac{1}{4}\arcsin\!\bigl(x^{2}\bigr)+C

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