Calcule as integrais:
(a) \int_{0}^{2 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}} d x
(h) \int x \sqrt{x^{2}+4} d x
(b) \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2}-1}} d t
(i) \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}} d x
(c) \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{25-x^{2}}} d x
(j) \int \frac{1}{u \sqrt{5-u^{2}}} d u
(d) \int \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{4}} d x
(k) \int_{\sqrt{2} / 3}^{2 / 3} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2}-1}} d x
(e) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+16}} d x
(l) \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} d x
(f) \int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+2}} d x
(m) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-6 x+13}} d x
(g) \int \sqrt{1-4 x^{2}} d x
(n) \int x \sqrt{1-x^{4}} d x
1.6.9 Integração de Potências Trigonométricas
Estratégias para calcular \int \operatorname{sen}^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x.
a) Se a potência do cosseno é ímpar:
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais, algumas definidas e outras indefinidas, envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas, potências de x, integrais racionais e trigonométricas. Vamos usar técnicas padrão: substituições trigonométricas para expressões do tipo \sqrt{a^2\pm x^2}, substituições algébricas para potências de x, integração por partes quando necessário e fórmulas para integrais definidas nos limites dados.
Passo 2
(a) \displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{3}}\frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx
Use x=4\sin\theta, dx=4\cos\theta\,d\theta, \sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta. A integral vira
(b) \displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{2}\frac{1}{t^{3}\sqrt{t^{2}-1}}\,dt
Use t=\operatorname{sec} u, dt=\operatorname{sec} u\tan u\,du, \sqrt{t^{2}-1}=\tan u. A integral fica
(f) \displaystyle \int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx
Use u=x^{2}+2, du=2x\,dx, e x^{4}=(u-2)^{2}. A integral vira polinomial em u dividida por \sqrt{u}, resultando
\frac{1}{5}(x^{2}+2)^{\tfrac{5}{2}} -\frac{4}{3}(x^{2}+2)^{\tfrac{3}{2}} +4\sqrt{x^{2}+2} + C.
Passo 8
(g) \displaystyle \int\sqrt{1-4x^{2}}\,dx
Faça u=2x, dx=du/2. Fica \tfrac12\!\int\sqrt{1-u^{2}}\,du, cuja primitiva é
(i) \displaystyle \int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,dx
Use x=3\operatorname{sec}\theta. A integral reduz-se a \frac{1}{3}\int\sin^{2}\theta\,d\theta, cuja primitiva é
(k) \displaystyle \int_{\sqrt{2}/3}^{2/3}\frac{1}{x^{5}\sqrt{9x^{2}-1}}\,dx
Use x=\tfrac{1}{3}\operatorname{sec}\theta. A integral torna-se polinomial em \cos\theta e, após integrar e avaliar em \theta=\pi/4 e \theta=\pi/3, resulta
(m) \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-6x+13}}\,dx
Complete o quadrado: x^{2}-6x+13=(x-3)^{2}+4. É integral de \frac{1}{\sqrt{(x-3)^{2}+2^{2}}}, cuja primitiva é