\frac{2 x^{2}+5 x+4}{x{3}+x{2}+x-3}=\frac{11}{6} \cdot \frac{1}{x-1}+\frac{1}{6} \cdot \frac{x+9}{x^{2}+2 x+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a fração racional
\frac{2x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3}
e pede para escrevê-la como soma de frações simples do tipo
\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+3}.
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e fatoração de polinômios.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^{3}+x^{2}+x-3. Como
1^{3}+1^{2}+1-3=0,
segue que x-1 é fator. Fazendo divisão de polinômios de x^{3}+x^{2}+x-3 por x-1, ou agrupando, obtemos
x^{3}+x^{2}+x-3=(x-1)(x^{2}+2x+3).

Passo 3

Escrevemos a decomposição proposta:
\frac{2x^{2}+5x+4}{(x-1)(x^{2}+2x+3)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+2x+3), vem
2x^{2}+5x+4 =A(x^{2}+2x+3)+(Bx+C)(x-1).

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A x^{2}+2A x+3A + Bx^{2}-B x + Cx - C =(A+B)x^{2}+(2A - B + C)x+(3A - C).
Comparando coeficientes com 2x^{2}+5x+4, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ 2A - B + C = 5,\\\\ 3A - C = 4. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo em cadeia: de A+B=2 vem B=2-A. De 3A - C=4 vem C=3A-4. Substituindo em 2A - B + C=5:
2A - (2-A) + (3A-4)=5 \;\Longrightarrow\;6A -6 = 5 \;\Longrightarrow\;A=\frac{11}{6}.
Logo
B=2-\frac{11}{6}=\frac{1}{6}, \quad C=3\cdot\frac{11}{6}-4=\frac{9}{6}.

Resposta

\frac{2x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3} =\frac{\tfrac{11}{6}}{x-1} +\frac{\tfrac{1}{6}\,x+\tfrac{9}{6}}{x^{2}+2x+3} =\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{x-1} +\frac{1}{6}\cdot\frac{x+9}{x^{2}+2x+3}.

Exercícios relacionados