Por exemplo,
Exemplo 1.66. Seja
f(x)=x^{2}+\pi.
Temos que
\int f(x) d x=\int\left(x^{2}+\pi\right) d x=\frac{x^{3}}{3}+\pi x+C, \operatorname{com} C \in \mathbb{R}, derivando a função encontrada temos
\left(\frac{x^{3}}{3}+\pi x+C\right)^{\prime}=x^{2}+\pi que é nossa função inicial.
Se for feito o processo ao contrário com a função
f(x), temos que
f^{\prime}(x)= 2x. Agora, calculando
\int f^{\prime}(x) d x=\int 2 x d x=x^{2}+C, com
C \in \mathbb{R}. Ou seja, não voltamos para nossa função inicial.
1.8 Integrais Impróprias
Vamos ver agora os casos onde o/os extremos de integração é/são infinitos. Este tipo de integral é o que chamamos de integral imprópria. Vamos dar sentido aos seguintes casos:
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x, \int_{-\infty}^{a} f(x) d x, \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x
Definição 1.8.1. Seja
f integrável em
[a, t], para todo
t>0. Definimos
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) d x
desde que o limite exista e seja finito. Tal limite, denomina-se Integral Imprópria de
f estendia ao intervalo
[a,+\infty).
Observação 1.8.2. Se
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) d x=+\infty ou
-\infty, continuaremos a nos referir a
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x como uma integral imprópria e escrevemos
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=+\infty \text { ou } \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=-\infty
Se ocorrer um desses casos ou se o limite não existir, dizemos que a integral é divergente. Se o limite for finito, dizemos que a integral imprópria é convergente.
Suponhamos
f(x) \geq 0 em
[a,+\infty) e que
f seja integrável em
[a, t] para todo
t>a. Seja
A o conjunto de todos os pontos
(x, y) tais que
0 \leq y \leq f(x) e
x \geq a. Definimos a área de
A por
\text { Área } A=\int_{a}^{+\infty} f(x) d x
Exemplo 1.67. Calcule a área de
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}, x \in(1,+\infty)\right. e
\left.0 \leq y \leq \frac{1}{x^{2}}\right\}.
Solução:
\begin{aligned}
A & =\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\
& =\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x \\
& =\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{1}^{t} x^{-2} d x \\
& =\lim _{t \rightarrow+\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} \\
& =\lim _{t \rightarrow+\infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]=1