\int \frac{35 x+61}{(x+1)^{2}+3} d x & =\int \frac{35(u-1)+61}{u^{2}+3} d u \

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral indefinida
\int \frac{35x+61}{(x+1)^{2}+3}\,dx
O conteúdo envolve substituição para simplificar o denominador e depois usar integrais conhecidas do tipo \int u/(u^{2}+a^{2})\,du e \int 1/(u^{2}+a^{2})\,du.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
\displaystyle u = x+1, logo \displaystyle du = dx.
Assim a integral vira
\int \frac{35x+61}{(x+1)^{2}+3}\,dx = \int \frac{35(u-1)+61}{u^{2}+3}\,du.

Passo 3

Simplificamos o numerador:
35(u-1)+61 = 35u -35 +61 = 35u +26.
Logo
\int \frac{35(u-1)+61}{u^{2}+3}\,du = \int \frac{35u+26}{u^{2}+3}\,du = \int \frac{35u}{u^{2}+3}\,du \;+\; \int \frac{26}{u^{2}+3}\,du.

Passo 4

Para a primeira parte usamos t = u^{2}+3, mas reconhecemos que
\frac{d}{du}(u^{2}+3) = 2u,
então
\int \frac{35u}{u^{2}+3}\,du = \frac{35}{2} \int \frac{2u}{u^{2}+3}\,du = \frac{35}{2} \ln\bigl(u^{2}+3\bigr).

Passo 5

Para a segunda parte usamos a fórmula do arco-tangente, pois
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr).
Aqui a^{2}=3, a=\sqrt{3}, então
\int \frac{26}{u^{2}+3}\,du = 26 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{3}}\bigr) = \frac{26}{\sqrt{3}} \arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{3}}\bigr).

Passo 6

Somando as partes e voltando a x (lembrando u=x+1), obtemos
\int \frac{35x+61}{(x+1)^{2}+3}\,dx = \frac{35}{2} \ln\bigl((x+1)^{2}+3\bigr) + \frac{26}{\sqrt{3}} \arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{3}}\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{\int \frac{35x+61}{(x+1)^{2}+3}\,dx = \frac{35}{2} \ln\bigl((x+1)^{2}+3\bigr) + \frac{26}{\sqrt{3}} \arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{3}}\bigr) + C.}

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