Por exemplo,
Exemplo 1.66. Seja f(x)=x^{2}+\pi.
Temos que \int f(x) d x=\int\left(x^{2}+\pi\right) d x=\frac{x^{3}}{3}+\pi x+C, \operatorname{com} C \in \mathbb{R}, derivando a função encontrada temos \left(\frac{x^{3}}{3}+\pi x+C\right)^{\prime}=x^{2}+\pi que é nossa função inicial.
Se for feito o processo ao contrário com a função f(x), temos que f^{\prime}(x)= 2x. Agora, calculando \int f^{\prime}(x) d x=\int 2 x d x=x^{2}+C, com C \in \mathbb{R}. Ou seja, não voltamos para nossa função inicial.

1.8 Integrais Impróprias

Vamos ver agora os casos onde o/os extremos de integração é/são infinitos. Este tipo de integral é o que chamamos de integral imprópria. Vamos dar sentido aos seguintes casos:
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x, \int_{-\infty}^{a} f(x) d x, \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x
Definição 1.8.1. Seja f integrável em [a, t], para todo t>0. Definimos
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) d x
desde que o limite exista e seja finito. Tal limite, denomina-se Integral Imprópria de f estendia ao intervalo [a,+\infty).
Observação 1.8.2. Se \lim _{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) d x=+\infty ou -\infty, continuaremos a nos referir a \int_{a}^{+\infty} f(x) d x como uma integral imprópria e escrevemos
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=+\infty \text { ou } \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=-\infty
Se ocorrer um desses casos ou se o limite não existir, dizemos que a integral é divergente. Se o limite for finito, dizemos que a integral imprópria é convergente.
Suponhamos f(x) \geq 0 em [a,+\infty) e que f seja integrável em [a, t] para todo t>a. Seja A o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 \leq y \leq f(x) e x \geq a. Definimos a área de A por
\text { Área } A=\int_{a}^{+\infty} f(x) d xÁ
Exemplo 1.67. Calcule a área de A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}, x \in(1,+\infty)\right. e \left.0 \leq y \leq \frac{1}{x^{2}}\right\}.

Solução:

\begin{aligned} A & =\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\ & =\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x \\ & =\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{1}^{t} x^{-2} d x \\ & =\lim _{t \rightarrow+\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} \\ & =\lim _{t \rightarrow+\infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do conjunto
A = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}\mid x>1,\;0\le y\le\tfrac1{x^{2}}\bigr\},
ou seja, a área sob a curva f(x)=1/x^{2} de x=1 até x=+\infty. O conteúdo aqui é integral imprópria.

Passo 2

Escrevemos a área como integral imprópria
A = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_{1}^{t} x^{-2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-2}. Sabendo que
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac1{x}\Bigr)=x^{-2},
temos
\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C.

Passo 4

Avaliaremos o limite usando essa primitiva:
A = \lim_{t\to+\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{t} = \lim_{t\to+\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{t} + 1\Bigr) = 1.

Resposta

A = 1.

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