Por exemplo,
Exemplo 1.66. Seja
.
Temos que
, derivando a função encontrada temos
que é nossa função inicial.
Se for feito o processo ao contrário com a função
, temos que
2x. Agora, calculando
, com
. Ou seja, não voltamos para nossa função inicial.
1.8 Integrais Impróprias
Vamos ver agora os casos onde o/os extremos de integração é/são infinitos. Este tipo de integral é o que chamamos de integral imprópria. Vamos dar sentido aos seguintes casos:
Definição 1.8.1. Seja
integrável em
, para todo
. Definimos
desde que o limite exista e seja finito. Tal limite, denomina-se Integral Imprópria de
estendia ao intervalo
.
Observação 1.8.2. Se
ou
, continuaremos a nos referir a
como uma integral imprópria e escrevemos
Se ocorrer um desses casos ou se o limite não existir, dizemos que a integral é divergente. Se o limite for finito, dizemos que a integral imprópria é convergente.
Suponhamos
em
e que
seja integrável em
para todo
. Seja
o conjunto de todos os pontos
tais que
e
. Definimos a área de
por
Exemplo 1.67. Calcule a área de
e
.
Solução:
Exemplo 1.66. Seja
Temos que
Observação 1.8.2. Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área do conjunto
ou seja, a área sob a curva
de
até
. O conteúdo aqui é integral imprópria.
Passo 2
Escrevemos a área como integral imprópria
Passo 3
Calculamos a antiderivada de
. Sabendo que
temos
Passo 4
Avaliaremos o limite usando essa primitiva: